Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5
члены последовательности кроме конечного числа лежат вне отрезка

MM ; .
Пример:

nn ;.
Бесконечно большая последовательность записывается в виде:
n
x или
n
xlim .
5) Последовательность
n
x
называется бесконечно малой, если
n
xlim
Пример:
2
/1 nx
n
Общие члены бесконечно малых последовательностей обозначают
буквами греческого алфавита:
nnn
,
,
. По определению предела,
n
будет бесконечно малой, если для любого
,
N
n выполняется
n
.
Если последовательность
n
бесконечно малая и все ее члены
отличны от нуля, то последовательность
nn
x
/1
- бесконечно большая,
и обратно, если последовательность
n
x
- бесконечно большая, то
последовательность

nn
x/1
- бесконечно малая.
Теорема 4. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых есть
бесконечно малая:
00,0
nnnn
.
Доказательство: Возьмем 0
, тогда существует такой номер
1
N , что
при
1
Nn будет 2/
n
, и такой номер
2
N , что при
2
Nn
будет
2/
n
. Обозначим через N наибольшее из чисел N
1
и N
2
,тогда
при
N
n выполняются оба неравенства, следовательно:
2/2/
nnnn
, т.к. для любого 0
при
N
n
nn
, то последовательность
nn
- бесконечно малая.
Теорема 5. Произведение ограниченной последовательности и
бесконечно малой последовательности есть бесконечно малая
последовательность. Пусть
n
x
- ограниченная последовательность,
n
-
бесконечно малая последовательность. Надо доказать, что 0
nn
x
. 
члены последовательности кроме конечного числа лежат вне отрезка
 M ; M .
      Пример: n;  n.
      Бесконечно большая последовательность записывается в виде:
       xn   или lim xn   .
      5) Последовательность         xn называется       бесконечно малой,     если
lim xn  

      Пример: xn   1 / n 2 
      Общие члены бесконечно малых последовательностей обозначают
буквами греческого алфавита:  n ,  n ,  n . По определению предела,  n 

будет бесконечно малой, если для любого  , n  N выполняется  n   .

      Если последовательность        n    бесконечно малая и все ее члены
отличны от нуля, то последовательность xn   1 /  n  - бесконечно большая,
и обратно, если последовательность            xn    -      бесконечно большая, то
последовательность  n   1 / xn  - бесконечно малая.
      Теорема 4. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых есть
бесконечно малая:  n  0,  n  0   n   n  0 .
      Доказательство: Возьмем   0 , тогда существует такой номер N1 , что

при n  N1 будет  n   / 2 , и     такой номер N 2 , что при n  N 2         будет

 n   / 2 . Обозначим через N наибольшее из чисел N1 и N2,тогда
      при n  N выполняются оба неравенства, следовательно:
        n   n   n   n   / 2   / 2   , т.к. для любого   0 при n  N
 n   n   , то последовательность  n   n  - бесконечно малая.
      Теорема      5.   Произведение    ограниченной           последовательности   и
бесконечно      малой      последовательности         есть     бесконечно      малая
последовательность. Пусть xn  - ограниченная последовательность,  n  -
бесконечно малая последовательность. Надо доказать, что xn n  0 .

                                         5

Страницы