Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 4 стр.

      Теорема 1. Последовательность может иметь не более одного предела.
      Доказательство (от противного):                  Пусть xn  a ;        xn  b ( a  b) .
Возьмем число   0 . Т.к. xn  a , то a  xn   / 2 при n  N1 . Т.к. xn  b ,

то b  xn   / 2     при n  N 2 . Тогда для n  N , где N  N1 , N 2              должны
выполняться оба неравенства, следовательно:
a  b  (a  xn )  ( xn  b)  a  xn  xn  b   / 2   / 2   , т.е. разность
может быть меньше любого положительного числа, следовательно a  b .
      Теорема 2. Если xn  a , то xn  a .

      Доказательство:        Для    любого            0,    при    nN,     выполняется
неравенство:        a  xn   .   Но    по        свойству     абсолютной       величины:

 a  x  a  xn ,       следовательно,        при       nN         должно    выполняться

неравенство a  x   , т.е. xn  a .

      Теорема 3. Если xn  a , то последовательность xn ограничена.
      Доказательство: Пусть   1 , тогда найдется такой номер N, что для
nN      a  an  1;     следовательно:           an  (an  a)  a  (an  a)  a  1  a .

Откуда: an  a  1 , для всех n  N . Обозначим через M наибольшее из

чисел: a1 , a2 , ... an , a  1 , т.е. an  M , значит последовательность

xn ограничена.
      Обратная теорема неверна: из ограниченности последовательности не
следует ее сходимость.
         4) Последовательность           xn ,      не имеющая конечного предела,
называется расходящейся.
      Пример: n 2 .
      Последовательность xn  называется бесконечно большой, если для
любого числа M > 0 найдется номер N, такой, что для всех n  N ,
выполняется неравенство xn  M . Геометрически это означает, что все



                                              4