Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3
2.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
2.1.1 Числовые последовательности
1) Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие
число
n
x , то говорят, что задана последовательность
n
xxxx ,...,,,
321
или

n
x ;
n
x – называется общим членом последовательности и он является
функцией натурального аргумента
n:
...3,2,1),(
nnfx
n
Пример:


,...1,0,1,0,1:)2/sin(
,...4/1,3/1,2/1,1:/1
nx
nx
n
n
2) Последовательность
n
x
называется ограниченной, если
существует число
M > 0 такое, что для всех n выполняется неравенство:
,Mx
n
т.е. члены последовательности принадлежат интервалу (-М,М).
Последовательность
n
x называется ограниченной сверху (справа),
если все ее члены меньше некоторого числа М, т.е.
Mx
n
.
Последовательность
n
x называется ограниченной снизу (слева), если
выполняется неравенство Mx
n
.
Примеры:

nx
n
– ограничена снизу

nx
n
– ограничена сверху

nx
n
n
)1( = -1, 2, -3, 4, -5,.. – не ограничена.
Число a называется пределом последовательности

n
a если для
любого положительного числа
найдется такой номер N, что для всех n>N
выполняется неравенство
n
xa . Другими словами: если у
последовательности

n
x
есть предел a, то члены последовательности при
всех n>N удовлетворяют неравенству:
axa
n
. Предел
последовательности записывается так: ax
n
lim , или ax
n
. В этом случае
говорят, что последовательность
сходится. 
         2.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
         ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

         2.1.1 Числовые последовательности


         1) Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие
число xn , то говорят, что задана последовательность x1 , x2 , x3 ,..., xn или
xn ;   xn – называется общим членом последовательности и он является
функцией натурального аргумента n: xn  f (n), n  1, 2, 3...
                   xn   1/ n: 1, 1/ 2, 1/ 3, 1/ 4,...
         Пример:
                   xn   sin(n / 2): 1, 0,  1, 0, 1,...
         2) Последовательность            xn        называется ограниченной,             если
существует число M > 0 такое, что для всех n выполняется неравенство:
xn  M , т.е. члены последовательности принадлежат интервалу (-М,М).

         Последовательность xn  называется ограниченной сверху (справа),
если все ее члены меньше некоторого числа М, т.е. xn  M .
         Последовательность xn  называется ограниченной снизу (слева), если
выполняется неравенство xn  M .
         Примеры:      xn   n – ограничена снизу
                       xn    n – ограничена сверху
                       xn   (1) n n = -1, 2, -3, 4, -5,.. – не ограничена.
         Число     a   называется пределом последовательности an                     если для
любого положительного числа  найдется такой номер N, что для всех n>N
выполняется неравенство                a  xn   .       Другими       словами: если у

последовательности xn  есть предел a, то члены последовательности при
всех     n>N        удовлетворяют          неравенству:         a    xn  a   .    Предел
последовательности записывается так: lim xn  a , или xn  a . В этом случае
говорят, что последовательность сходится.

                                                  3

Страницы