Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 7 стр.

       Доказательство:         по      условию         lim xn  a ,тогда         lim xn  a  0 ,
следовательно для любого   0 и для n  N , выполняется неравенство:
a    xn  a   . Возьмем такое  : 0    a / 2 , тогда получим xn  a / 2 ,

полагая K  a / 2 , получим утверждение леммы 1.

       Лемма 2. Если lim xn  a, a  0 и все члены последовательности
отличны от нуля, то последовательность 1 / xn  ограничена.
       Доказательство: по лемме 1, существует число K>0, такое, что при
n  N имеет место неравенство: xn  K , следовательно: 1 / xn  K . Если

обозначим через M наибольшее из чисел                         1 / x1 , 1 / x2 , ... 1 / xn , 1 / K , то

1 / xn  M для всех n.

       Теорема 8. Если               последовательности           xn    и    yn      сходятся,
lim xn  a; lim y n  b , причем yn  0 и                       xn / yn 
                                                       ,то последовательность
сходится и ее предел равен отношению пределов последовательностей xn  и
yn : xn / yn  a / b .
       Доказательство:              xn  a   n ,  n  0; y n  b   n ,  n  0 .        Тогда:
xn a bxn  ay n b(a   n )  a (b   n ) b n  a n
                                                   .
yn b    by n              by n                 by n
       Так как последовательность               1/ yn    - ограничена ( лемма 2 ),
(b n  a n ) / b  0   (по теоремам о бесконечно малых) следовательно
последовательность        b n  a n  / byn    - бесконечно малая (по теореме 7).
Значит : xn / y n  a / b или lim xn / y n  lim xn / lim y n .
       2) Число e.
       Рассмотрим последовательность x = (1 + 1/n)n:
       (1 + 1)1, (1 + 1/2)2,...,(1 + 1/n)n. Докажем, что она имеет конечный
предел. Воспользуемся формулой бинома Ньютона:




                                                7