Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 15 стр.

        Возьмем на кривой две точки M и N . Соединим их прямой MN –
называющейся          секущей. Будем приближать точку                  N    к точке     M
неограниченно, то есть расстояние между MN стремится к нулю (рис.2.1.2).
        Предельное        положение          секущей        MN   при       неограниченном
приближении точки N по кривой к точке M называется касательной к
кривой в точке M.
        Напишем уравнение касательной. Кривая с уравнением                     y  f (x) в

точке        M принимает           значение y 0  f ( x0 ) , аргументу         x0    +  x0
соответствует значение функции y0  y  f ( x0  x) в точке N .Уравнение
секущей:       y  y0  y / c x  x0  .
        Устремим        x  0 , тогда точка N стремится к точке M . Секущая
превратится в касательную.  – угол наклона секущей NM ;  – угол
наклона касательной в точке M .
        Если x  0 , то    и tg  tg , но tg  y / x , следовательно
tg  lim y / x .
        Таким образом, уравнение касательной:
        y  y0  lim y / c x  x0  .


        2) Предел отношения приращения функции к приращению аргумента
y / x при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел
существует и конечен, называется производной функции f(x) в точке x .
        Обозначения: y; f (x); dy/ dx; df / dx
                    y                    f ( x  x)  f ( x)
        y  lim       ; f ( x)  lim
             x  0 x             x  0          x
        Очевидно, что в каждой точке x производная будет иметь различные
значения,       то есть       f (x)      является функцией переменной              x. Если
фиксировать значения x, например x  x0 , то производная в точке x  x0
обозначается:


                                                15