Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16

dx
xdf
xfy
xx
0
0
);(;
0
Так как
tgy
, это означает, что производная функции f(x) в точке x
равна угловому коэффициенту касательной в точке M(x, f(x))
к кривой,
заданной уравнением y
= f ( x ).
Пример:
2
xy
;
222
)(2)()()( xxxxxxxfxxfy и
x
x
x
y
2
/
,
следовательно
x
x
y
y 2lim
, или
xx 2
2
.
В частности при .2)1(1
fx Пусть 1
y , тогда для уравнения
касательной )1(21
x
y и 12
x
y .
3) Необходимо уточнить условие существования производной.
Теорема 1. Если функция f(x) имеет производную в точке x , то она
непрерывна в этой точке.
Доказательство: по условию, если существует производная, то
существует предел:
).(
)()(
lim
0
xf
x
xfxxf
x
По определению предела:
0,)(
)()(
xf
x
xfxxf
при 0
x
.
Откуда
xxfxfxxfy
)()()(
.
Следовательно,
0
y
при
0
x
, а это означает, что функция
f ( x ) непрерывна в точке x .
Заметим, что непрерывность функции в точке не является
достаточным условием существования производной в данной точке.
В определении производной речь идет о конечном пределе
x
y
/
при
0
x
. Если этот предел бесконечен, то говорят, что производная не
существует. Геометрически – это случай вертикальной касательной. 
                                df  x0 
       y  x  x ; f ( x0 );
               0                  dx
      Так как y  tg , это означает, что производная функции f(x) в точке x
равна угловому коэффициенту касательной в точке M(x, f(x)) к кривой,
заданной уравнением y = f ( x ).

      Пример: y  x 2 ;

      y  f ( x  x)  f ( x)  ( x  x) 2  x 2  2 xx  (x) 2 и y / x  2 x  x ,

следовательно y   lim
                                y
                                x
                                                  
                                                    
                                    2 x , или x 2  2 x .

      В частности при x  1                 f (1)  2. Пусть y  1 , тогда для уравнения
касательной y  1  2( x  1) и y  2 x  1 .
      3) Необходимо уточнить условие существования производной.
      Теорема 1. Если функция f(x) имеет производную в точке x , то она
непрерывна в этой точке.
      Доказательство: по условию, если существует производная, то
существует предел:
               f ( x  x )  f ( x )
       lim                             f ( x).
      x  0            x
      По определению предела:
       f ( x  x )  f ( x )
                               f ( x)   ,   0 при x  0 .
                x
      Откуда y  f ( x  x )  f ( x )   f ( x )   x .
      Следовательно, y  0 при x  0 ,                     а это означает, что функция
f ( x ) непрерывна в точке x .
      Заметим, что                 непрерывность функции в точке не является
достаточным условием существования производной в данной точке.
      В определении производной речь идет о конечном пределе y / x при
x  0 . Если этот предел бесконечен, то говорят, что производная                       не
существует. Геометрически – это случай вертикальной касательной.


                                                    16

Страницы