Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28
если выполняются условия теоремы, то в точке
касательная параллельна
оси ОХ
. Точек может быть много.
Доказательство: пусть в точке
f(
)=M – наибольшее значение
функции, тогда:

0
fxff .
При этом:

,0
,0
x
f
если
0
0
x
x
.
Так как по условию теоремы, производная существует в точке
, то
существует и предел:
x
f
lim . Учитывая, что

0lim
x
f
, а значит
0lim
0
x
f
x
, то есть

0
f , что и требовалось доказать.
Теорема Лагранжа: если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a,b] и
дифференцируема на интервале (a,b), то на этом интервале найдется точка
, a <
< b, такая что


f
ab
afbf
.
Заметим, что теорема Ролля является частным случаем теоремы
Лагранжа при f(a)=f(b).
Геометрически

ab
afbf
– угловой коэффициент секущей.
Доказательство: рассмотрим вспомогательную функцию:
F(x)=f(x) – y
сек
.
Уравнение секущей в точке (a,f(a)):



ax
ab
afbf
afy
.
При этом:
)(
)()(
)()()( ax
ab
afbf
afxfxF
.
Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля, так как при x=a, x=b
F(a)=0, F(b)=0, то есть F(a)=f(b). Таким образом, F'(
)=0.
Так как
ab
afbf
xfxF
)()(
)()( , то F'(
)=f '(
) -
ab
afbf
)()(
если выполняются условия теоремы, то в точке  касательная параллельна
оси ОХ. Точек может быть много.
       Доказательство: пусть в точке                         f(  )=M – наибольшее значение
функции, тогда: f    f   x   f    0 .

                      f    0,      x  0
       При этом:                  если        .
                       x      0,      x  0
       Так как по условию теоремы, производная существует в точке  , то
                                           f                       f  
существует       и      предел: lim                . Учитывая, что lim         0 , а значит
                                            x                          x
       f
 lim       0 , то есть f    0 , что и требовалось доказать.
x  0 x

       Теорема Лагранжа: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и
дифференцируема на интервале (a,b), то на этом интервале найдется точка
                                f b   f a 
 , a <  < b, такая что                         f   .
                                    ba
       Заметим,       что теорема Ролля является                   частным      случаем теоремы
Лагранжа при f(a)=f(b).
                               f b   f a 
       Геометрически                           – угловой коэффициент секущей.
                                   ba
       Доказательство: рассмотрим вспомогательную функцию:
       F(x)=f(x) – yсек .
       Уравнение секущей в точке (a,f(a)):
                      f b   f a 
       y  f a                     x  a  .
                          ba
       При этом:
                                             f (b)  f (a )
              F ( x)  f ( x)  f (a )                     ( x  a) .
                                                 ba
       Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля, так как при x=a, x=b
F(a)=0, F(b)=0, то есть F(a)=f(b). Таким образом, F'(  )=0.
                                         f (b)  f (a )                         f (b)  f (a )
       Так как F ( x)  f ( x)                       , то F'(  )=f '(  ) -
                                             ba                                    ba
                                                    28

Страницы