Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

29
откуда
ab
afbf
f
)()(
)(
, что и требовалось доказать.
Формула f(b) – f(a)=f '(
)(b-a) называется формулой Лагранжа или
формулой конечных приращений.
Теорема Коши:
если функции f(x) и
(x) непрерывны на отрезке
[a,b], дифференцируемы на интервале (a,b),
и
0)(
x
, то существует
точка
, a <
< b, такая что

f
ab
afbf
)()(
)()(
.
Доказательство: заметим, что 0)()(
ab
. Действительно, если бы
)()( ab
, то по теореме Ролля найдется точка
, где 0)(
, а это
противоречит условию теоремы:
0)(
x
.
Рассмотрим вспомогательную функцию:
 

ax
ab
afbf
afxfxF
)()(
)()(
)()()(
.
Не трудно видеть, что на отрезке [a,b] эта функция удовлетворяет
теореме Ролля, то есть
F(a)=F(b), таким образом F'(
)=0.
Так как

x
ab
afbf
xfxF
)()(
)()(
)()(
, то
 
,
)()(
)()(
)(0
ab
afbf
fF
то есть



f
ab
afbf )()(
, что и
требовалось доказать.
Это формула Коши. Теорема Лагранжа – частный случай теоремы
Каши.
9) Неопределенности
Рассмотрим бесконечные последовательности. Последовательность
может иметь конечный предел:
55;5;
22
nnnn
yxnynx
. 
                               f (b)  f (a)
      откуда       f ( )                  , что и требовалось доказать.
                                   ba
      Формула f(b) – f(a)=f '(  )(b-a) называется формулой Лагранжа или
формулой конечных приращений.
      Теорема Коши: если функции f(x) и  (x) непрерывны на отрезке
[a,b], дифференцируемы на                   интервале (a,b), и  ( x)  0 , то существует
точка  , a <  < b, такая что
                      f (b)  f (a ) f  
                                            .
                       (b)   (a)   
      Доказательство: заметим, что  (b)   (a )  0 . Действительно, если бы
 (b)   (a) , то по теореме Ролля найдется точка  , где  ( )  0 , а это
противоречит условию теоремы:  ( x)  0 .
      Рассмотрим вспомогательную функцию:
                                     f (b)  f (a )
        F ( x)  f ( x)  f (a )                    x    a .
                                      (b)   (a)
      Не трудно видеть, что на отрезке [a,b] эта функция удовлетворяет
теореме Ролля, то есть F(a)=F(b), таким образом F'(  )=0.
                                        f (b)  f (a )
      Так как F ( x)  f ( x)                         x  , то
                                         (b)   (a )
                                  f (b)  f (a )                  f (b)  f (a ) f  
        F    0  f ( )                     , то есть                        , что и
                                   (b)   (a)                    b    a    
требовалось доказать.
      Это формула Коши. Теорема Лагранжа – частный случай теоремы
Каши.


      9) Неопределенности
      Рассмотрим бесконечные                     последовательности. Последовательность
может иметь конечный предел:
        xn  n 2 ; yn  n 2  5; xn  yn  5  5 .


                                                    29

Страницы