Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

31
)(
)(
lim
)(
)(
lim
x
xf
x
xf
axax
.
Доказательство: применим формулу Коши:

,
)()(
)()(
f
ax
afxf
a
x
.
Учитывая, что f(a)=
(a)=0;
.
)(
)(
)(
)(
f
x
xf
Пусть a
x
, тогда a
и
,
)(
)(
lim
)(
)(
lim
x
xf
x
xf
axax
что и требовалось доказать.
Если окажется, что
)(xf
и )(x
– бесконечно малые при a
x
, то
правило Лопиталя надо применить еще раз, до тех пор, пока не появиться
определенность.
Пример:
1
1
lim
1
lim
00
x
x
x
x
e
x
e
.
Правило Лопиталя справедливо и при :
x
)(
)(
lim
)(
)(
lim
x
xf
x
xf
xx
.
Тоже и для:
)(lim xf
ax
и
)(lim x
ax
,
)(
)(
lim
)(
)(
lim
x
xf
x
xf
axax
.
Пример:
0
1
/1
lim
ln
lim
x
x
x
xx
,
0
)(ln
))1(()1(
lim
ln
limlim
nx
n
x
x
x
x
x
aa
xn
aa
x
a
x
.
Неопределенность типа
0 и
можно свести к известным 0/0 и
.
Пусть f(x)
0
,

axх
,
, 
                     f ( x)         f ( x)
                lim          lim            .
               x  a  ( x)   x  a  ( x )

       Доказательство: применим формулу Коши:
               f ( x)  f (a ) f  
                                      , x   a.
                ( x)   (a)   
                                                 f ( x) f ( )
       Учитывая, что f(a)=  (a)=0;                            . Пусть x  a , тогда   a и
                                                  ( x)  ( )
          f ( x)         f ( x)
    lim           lim            , что и требовалось доказать.
    x  a  ( x)   x  a  ( x )

       Если окажется, что f (x) и  (x) – бесконечно малые при x  a , то
правило Лопиталя надо применить еще раз, до тех пор, пока не появиться
определенность.
       Пример:
           ex  1       ex
       lim         lim  1 .
       x 0 x       x 0 1

                                                                         f ( x)         f ( x)
       Правило Лопиталя справедливо и при x   : lim                            lim            .
                                                                    x   ( x)   x    ( x )

       Тоже и для: lim
                    xa
                        f ( x)   и lim
                                      xa
                                           ( x)   ,

             f ( x)         f ( x)
       lim           lim            .
       x  a  ( x)   x  a  ( x )

       Пример:
           ln x       1/ x
       lim       lim      0 ,
       x  x     x  1

             x           x                (  1)(  (n  1) x) n
       lim       lim x           lim                                0.
       x  a x   x   a ln a       x           a x (ln a ) n
       Неопределенность типа 0   и    можно свести к известным 0/0 и
/.
       Пусть f(x)  0 ,   х   , x  a ,




                                                    31

Страницы