Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

32
)(/1
)(
)(/1
)(
)()(
xf
x
x
xf
xxf
.
)(/1
)(
x
xf
– неопределенность типа 0/0,
)(/1
)(
xf
x
– неопределенность типа
/
.
Пример:
0
/
1
/1
lim
/1
ln
lim)ln(lim
2
000
x
x
x
x
xx
xxx
.
Неопределенности вида
00
,1,0
встречаются при рассмотрении
функции

.)(
x
xfy
Для нахождения предела у достаточно найти предел
).(ln)(ln
x
f
x
y
Действительно, если
Ay
ax
lnlim
, то
A
ax
ey
lim
,
а при отыскании
y
ax
lnlim
придется раскрывать неопределенность вида
0, которая приводится к 0/0 и
/
.
Пример:
xxyxyx
xx
x
lnln;;lim
0
,
0lnlimlnlim
00
xxy
xx
.
Следовательно:
.1limlim
0
00
exy
x
xx
Задания для самостоятельной работы :
1) Найти производную второго порядка :
а) y=x²·lnx
б) y=exp(-x²)
в) y=sin²x
г) y=(expx)·cosx
д) y=(expx³)/x²
2) Найти производную четвертого порядка : 
                          f ( x)
                         1 /  ( x)
       f ( x)   ( x)               .
                              ( x )
                          1 / f ( x)

         f ( x)
                 – неопределенность типа 0/0,
      1 /  ( x)
         ( x)
                   – неопределенность типа  /  .
      1 / f ( x)
                                          ln x          1/ x
      Пример: lim ( x ln x)  lim                lim             0.
                    x 0             x 0 1 / x   x 0  1 / x 2

      Неопределенности вида                       0 0 , 1,  0   встречаются при рассмотрении

функции y   f ( x)  x . Для нахождения предела у достаточно найти предел
ln y   ( x)  ln f ( x). Действительно, если

                                 lim ln y  A , то lim y  e A ,
                                 xa                       xa

      а при отыскании lim ln y придется раскрывать неопределенность вида
                                 xa

0   , которая приводится к 0/0 и  /  .
               Пример:
       lim x x ; y  x x ; ln y  x ln x ,
       x 0

       lim ln y  lim x ln x  0 .
       x 0          x 0

      Следовательно: lim y  lim x x  e0  1.
                              x 0         x 0

      Задания для самостоятельной работы :
      1)      Найти производную второго порядка :
                 а) y=x²·lnx
                 б) y=exp(-x²)
                 в) y=sin²x
                 г) y=(expx)·cosx
                 д) y=(expx³)/x²
      2)      Найти производную четвертого порядка :
                                                        32

Страницы