Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 34 стр.

        Если в каждой точке х данного промежутка f ( x)  0, то функция f(x)
возрастает на этом промежутке. Если в каждой точке х f ( x)  0, то функция
f(x) убывает на этом промежутке.
        Доказательство: По условию f ( x)  0 . Возьмем две точки x1 и x2 . По
формуле Лагранжа: f ( x2 )  f ( x1 )  f ( )( x2  x1 ). Так как f ( )  0 , то знаки
( x2  x1 ) и f ( x2 )  f ( x1 ) совпадают, то есть функция возрастает. Аналогично
и для f ( x)  0 .
        Точка, в которой f ( x)  0       называется       точкой стационарности
функции. Еще могут быть точки, где производной не существует. Эти точки
называются критическими для функции f(x). Критические точки разбивают
область определения функции на интервале, где f (x) сохраняет знак.
        Правила исследования функций:
                  а) находим критические точки функции и разбиваем на
        интервалы;
        б) исследуем знак f (x) на каждом из этих интервалов.
        Если f ( x) 0 , то функция возрастает, если f ( x) 0 – убывает.
        2) Экстремум функции
        Определение 1: Точка х0 называется точкой максимума функции f(x),
если в окрестности точки х0 выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 ) .
        Определение 2: Точка х0 называется точкой минимума функции f(x),
если в окрестности точки х0 выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 ) .
        Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
        Функция может иметь на отрезке несколько экстремумов, причем
некоторые минимумы функции могут быть больше максимумов.
        Теорема       (необходимые условия экстремума функции):
        Если дифференцируемая функция f(x) имеет в точке х0              экстремум, то
f ( x0 )  0 .



                                           34