Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 33 стр.

             а) y=(x+1)/(x-1)
             б) y=(expx)·sinx
             в) y=cosx·(3x³-4)


      2.1.4 Исследование функции
      1) Возрастание и убывание функций
      Определение: функция        f(x) называется возрастающей на данном
промежутке, если для любых двух точек           х1 и х2 этого промежутка из
неравенства     х1  x2 следует неравенство     f ( x1 )  f ( x2 ) , то есть функция
возрастает, если знак приращения функции y совпадает со знаком
приращения аргумента x .
      Определение:    функция     f(x)   называется   убывающей        на   данном
промежутке, если для неравенства х1  x2 следует неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) ,
то есть приращение функции аргумента разного знака.
      Теорема    (необходимое условие возрастания и убывания функции):
      Если      дифференцируемая функция f(x) возрастает на данном
промежутке, то в любой точке х этого промежутка f ( x)  0. Если функция
f(x) убывает, то f ( x)  0 в любой точке этого промежутка.
      Доказательство: пусть f(x) – возрастает. Рассмотрим точку х, дадим х
                                                                   х
приращение х , соответствующее приращению функции у ,                0 , так как
                                                                   у
                                                     y
они одного знака. Приведем к пределу: lim                f ( x)  x . Аналогично
                                              x  0 x

доказывается и для убывающей функции.
      Геометрически это означает, что касательная к возрастающей функции
образует острый угол с ОХ, а к убывающей – тупой угол с ОХ .
      Теорема     (достаточное условие возрастания и убывания функции).




                                         33