Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

35
Доказательство: Пусть y=f(x) имеет в точке
0
х max. Тогда
0)()(
00
xfxxfy .
Следовательно:
00
00
xпри
xпри
x
y
Переходя к пределу:
0lim,0lim
0
0
0
0
x
y
x
y
x
x
x
x
.
По определению эти пределы равны:
.0)(
0
xf
Теорема (достаточное условие существования экстремума):
Если функция f(x) непрерывна в точке
0
х и дифференцируема в
некоторой ее окрестности и при переходе через точку
0
х )(xf
меняет знак с
плюса на минус, то функция f(x) имеет max в точке
0
х
, если же
)(xf
меняет
свой знак с минуса на плюс, то в точке
0
х функция f(x) имеет минимум.
Доказательства: Пусть )(xf
меняет знак при переходе точки
0
х с
плюса на минус. Тогда по функции Лагранжа:
000
),)(()()( xxxxfxfxf
.
Если
0
xx
, то
0)(
f
и
.0)()(
0
xfxf
Если ,
0
xx то 0)(
f и 0)()(
0
xfxf . Таким образом в
окрестности точки
0
х 0)()(
0
xfxf , то есть это максимум. Аналогично
рассматривается случай минимума.
Правила нахождения экстремума:
а) найти точки, в которых
0)(
xf или не существует;
б) исследовать знак )(xf
в окрестности критической точки.
Если
)(xf
меняет знак при переходе через критическую точку, значит
в этой точке f(x) имеет экстремум.
Пример:
)2()(
32
xxxf
33
3231
3
)54(5
3
3)2(2
)2(
3
2
)(
x
x
x
xx
xxxxf
       Доказательство:            Пусть       y=f(x)        имеет    в    точке    х0 max.   Тогда
y  f ( x0  x)  f ( x0 )  0 .

                                 y  0 при x  0
       Следовательно:                
                                 x  0 при x  0

                                            y            y
       Переходя к пределу: lim                  0, lim        0.
                                     x  0 x     x  0  x
                                     x  0            x  0

        По определению эти пределы равны: f ( x0 )  0.
       Теорема        (достаточное условие существования экстремума):
       Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в
некоторой ее окрестности и при переходе через точку х0 f (x) меняет знак с
плюса на минус, то функция f(x) имеет max в точке х0 , если же f (x) меняет
свой знак с минуса на плюс, то в точке х0 функция f(x) имеет минимум.
       Доказательства: Пусть f (x) меняет знак при переходе точки х0 с
плюса          на         минус.              Тогда             по       функции        Лагранжа:
f ( x)  f ( x0 )  f ( )( x  x0 ), x    x0 .
       Если x  x0 , то f ( )  0 и f ( x)  f ( x0 )  0.
       Если      x  x0 , то        f ( )  0 и          f ( x)  f ( x0 )  0 . Таким образом в
окрестности точки х0 f ( x)  f ( x0 )  0 , то есть это максимум. Аналогично
рассматривается случай минимума.
       Правила нахождения экстремума:
       а) найти точки, в которых f ( x)  0 или не существует;
       б) исследовать знак f (x) в окрестности критической точки.
       Если f (x) меняет знак при переходе через критическую точку, значит
в этой точке f(x) имеет экстремум.
       Пример: f ( x)  x 2 3 (2  x)
                                2 1 3                2( 2  x )  3 x     5( x  4 5)
                    f ( x)      x (2  x)  x 2 3                    
                                3                          33 x               33 x


                                                      35

Страницы