Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

37
;3/22;0;0616)(
4)4()(
4
24
4
2
4
3/1
4
2
4
;
2
;2;3/1
21
532
642224
222
2
3
2
2
22
22
2
22
222
2
xxxxxf
xxxxxf
xx
R
x
RxR
V
x
RxR
RrRH
Rx
rRxrHrV
Из заготовки в виде круга надо вырезать:
)3/21(2
.
3) Точка перегиба
Определение 1:
Кривая называется выпуклой в точке
0
х , если в
некоторой окрестности точки
0
х
кривая расположена ниже касательной в
точке
0
х .
Определение 2:
Кривая называется вогнутой в точке
0
х , если в
некоторой окрестности точки
0
х кривая расположена ниже касательной в
точке
0
х .
Определение 3:
Точка
0
х
называется точкой перегиба кривой y=f(x),
если с одной стороны от
0
х кривая выпукла, с другой стороны от
0
х кривая
вогнута, то есть касательная в точке перегиба кривой пересекает эту кривую.
Теорема: Если функция f(x) в некоторой окрестности точки
0
х дважды
дифференцируема и 0)(
xf , то необходимым и достаточным условием
выпуклости кривой является условие
0)(
xf , а вогнутости – 0)(
xf .
Из этой теоремы непосредственно получаем необходимые условия
точек перегиба.
Если f(x) – дважды дифференцируемая функция на некотором
промежутке, то в точках перегиба кривой у= f(x) на этом промежутке, вторая
производная равна нулю 0)(
xf .
Но это еще не достаточно для существования точки перегиба. 
                                         Rx
      V  1 / 3r 2 H ;2r  Rx; r         ;
                                         2

                2    R2 x2
                      2       R 2
      H  R r  R                                      4 2  x 2
                     4  2
                             2

                 R2 x2 R          2   R3 2
      V  1 / 3           4  x        x 4 2  x 2
                 4  2
                         2          24 2


       f ( x)  x 4 (4 2  x 2 )  4 2 x 4  x 6

       f ( x)  16 2 x3  6 x5  0; x1  0; x2  2 2 / 3;

      Из заготовки в виде круга надо вырезать: 2 (1  2 / 3 ) .
       3) Точка перегиба
      Определение 1: Кривая называется выпуклой в точке х0 , если в
некоторой окрестности точки х0 кривая расположена ниже касательной в
точке х0 .
      Определение 2: Кривая называется вогнутой в точке х0 , если в
некоторой окрестности точки х0 кривая расположена ниже касательной в
точке х0 .
      Определение 3: Точка х0 называется точкой перегиба кривой y=f(x),
если с одной стороны от х0 кривая выпукла, с другой стороны от х0 кривая
вогнута, то есть касательная в точке перегиба кривой пересекает эту кривую.
      Теорема: Если функция f(x) в некоторой окрестности точки х0 дважды
дифференцируема и             f ( x)  0 , то необходимым и достаточным условием
выпуклости кривой является условие                        f ( x)  0 , а вогнутости – f ( x)  0 .
      Из этой теоремы непосредственно получаем необходимые условия
точек перегиба.
      Если f(x) – дважды дифференцируемая функция на некотором
промежутке, то в точках перегиба кривой у= f(x) на этом промежутке, вторая
производная равна нулю f ( x)  0 .
      Но это еще не достаточно для существования точки перегиба.
                                                     37

Страницы