Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

38
Пример: ;6;3;
23
xyxyxy
х=0 – точка перегиба.
;12;4;
234
xyxyxy
х=0 – не точка перегиба.
Теорема: (достаточное условие точки перегиба):
Если в некоторой окрестности точки
0
х вторая производная )(xf
непрерывна и при переходе через точку
0
х
меняет знак, то точка
0
х
– точка
перегиба.
Доказательство: Действительно, если знак второй производной при
переходе через точку
0
х меняет знак с + на -, то это означает, что вогнутость
сменилась на выпуклость, то есть
0
х – точка перегиба.
Если
)(xf
не меняет знак при переходе через точку
0
х , то в этой точке
перегиба нет.
Правила исследования на точку перегиба:
а) находим точки, где )(xf
=0 или )(xf
– не существует – это
критические точки функции f(x) по второй производной;
б) эти точки делят область определения функции f(x) на интервалы, где
)(xf
сохраняет знак.
Если 0)(
xf – это вогнутость.
Если 0)(
xf – это выпуклость.
Точка перегиба – разделяет интервалы вогнутости и выпуклости.
Пример:
x
xey
– функция определена при всех х.
)2()1()(
)1()(
xeexexf
exxeexf
xxx
xxx
)(xf
– не существует для всех х.
Критические точки f(х) по второй производной:
0)0(
f ; x=2 – возможен перегиб.
x
y
y
x<2 - выпукла 
     Пример: y  x3 ; y  3 x 2 ; y  6 x; х=0 – точка перегиба.

                             y  x 4 ; y  4 x3 ; y  12 x 2 ; х=0 – не точка перегиба.
     Теорема: (достаточное условие точки перегиба):
     Если в некоторой окрестности точки х0 вторая производная f (x)
непрерывна и при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 – точка
перегиба.
     Доказательство: Действительно, если знак второй производной при
переходе через точку х0 меняет знак с + на -, то это означает, что вогнутость
сменилась на выпуклость, то есть х0 – точка перегиба.
     Если f (x) не меняет знак при переходе через точку х0 , то в этой точке
перегиба нет.
     Правила исследования на точку перегиба:
     а) находим точки, где                     f (x) =0 или   f (x) – не существует – это
критические точки функции f(x) по второй производной;
     б) эти точки делят область определения функции f(x) на интервалы, где
f (x) сохраняет знак.
     Если f ( x) 0 – это вогнутость.
     Если f ( x) 0 – это выпуклость.
     Точка перегиба – разделяет интервалы вогнутости и выпуклости.
     Пример: y  xe x – функция определена при всех х.

         f ( x)  e  x  xe x  (1  x)e  x

         f ( x)  e  x (1  x)  e  x  e  x (2  x)
         f (x)             – не существует для всех х.
     Критические точки f(х) по второй производной:
         f (0)  0 ; x=2 – возможен перегиб.
     x                 y                 y
    x<2            -                   выпукла

                                                       38

Страницы