Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3) При ме не ния ме то да Га ус са
Оп ре де ле ние 1. Ли ней ное урав не ние на зы ва ет ся од но род ным, ес -
ли сво бод ный член урав не ния ра вен ну лю. Сис те ма, со стоя щая из од но -
род ных урав не ний, са ма на зы ва ет ся од но род ной.
Об щий вид од но род ной сис те мы т урав не ний с п не из вест ны ми:
a x a x a x
a x a x a x
n
n
n n
11 1 12
2
1
21 1
22 2 2
0
0
+ + + =
+ + + =
K
K
.............................
a x a x a x
m
m mn n
1 1
2 2
0+ + + =K
Од но род ная сис те ма все гда со вме ст на: од но из ее ре ше ний есть
x x x
n
1
2
0 0 0= = =, ,...,
.
Это ре ше ние на зы ва ет ся ну ле вым. Осо бую важ ность пред став ля ет
во прос, име ет ли дан ная од но род ная сис те ма не ну ле вые ре ше ния. Час -
тич ный от вет дает следующая теорема.
Тео ре ма. Од но род ная сис те ма, в ко то рой чис ло урав не ний мень -
ше чис ла не из вест ных, все гда име ет не ну ле вое ре ше ние.
До ка за тель ст во. При ме ним к дан ной сис те ме ме тод Га ус са.
В про цес се пре об ра зо ва ний не мо гут поя вить ся про ти во ре чи вые урав -
не ния
0 0 0
1
2
x x x b
n
+ + + =K
, где
b ¹ 0
, по сколь ку все сво бод ные чле ны
урав не ний — ну ли. Зна чит, по сле не ко то ро го чис ла ша гов по лу чим сис -
те му, где ка ж до му урав не нию бу дет со от вет ст во вать свое ба зис ное не из -
вест ное. По сколь ку чис ло урав не ний мень ше чис ла п не из вест ных, то и
чис ло ба зис ных не из вест ных долж но быть мень ше n. Сле до ва тель но,
обя за тель но име ют ся сво бод ные не из вест ные. Сис те ма име ет бес чис -
лен ное мно же ст во ре ше ний, в том чис ле не ну ле вые ре ше ния.
До ка зан ная тео ре ма име ет мно го чис лен ные при ме не ния. В ча ст -
но сти до ка жем с ее по мо щью следующую теорему.
Тео ре ма. В про стран ст ве
R
n
лю бая сис те ма из s век то ров, где
s n>
,
ли ней но за ви си ма.
До ка за тель ст во. Для со кра ще ния за пи сей рас смот рим слу чай
n = 2
,
s = 3
, т.е. сис те му из трех век то ров в
R
2
. Те же рас су ж де ния мож но
по вто рить в об щем слу чае. Итак, пусть
a a a
1 1 1
2 2 2 3 3 3
= = =( , ), ( , ), ( , )a b a b a b
,
31
      3) Применения метода Гаусса
      Определение 1. Линейное уравнение называется однородным, ес-
ли свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из одно-
родных уравнений, сама называется однородной.

      Общий вид однородной системы т уравнений с п неизвестными:
                         a11 x 1 + a12 x 2 +K+a1 n x n = 0
                         a21 x 1 + a22 x 2 +K+a2 n x n = 0
                         .............................
                         am1 x 1 + am 2 x 2 +K+amn x n = 0

      Однородная система всегда совместна: одно из ее решений есть
                           x 1 = 0, x 2 = 0, ..., x n = 0.
     Это решение называется нулевым. Особую важность представляет
вопрос, имеет ли данная однородная система ненулевые решения. Час-
тичный ответ дает следующая теорема.

      Теорема. Однородная система, в которой число уравнений мень-
ше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.
      Доказательство. Применим к данной системе метод Гаусса.
В процессе преобразований не могут появиться противоречивые урав-
нения 0 x 1 + 0 x 2 +K+0 x n = b, где b ¹ 0, поскольку все свободные члены
уравнений — нули. Значит, после некоторого числа шагов получим сис-
тему, где каждому уравнению будет соответствовать свое базисное неиз-
вестное. Поскольку число уравнений меньше числа п неизвестных, то и
число базисных неизвестных должно быть меньше n. Следовательно,
обязательно имеются свободные неизвестные. Система имеет бесчис-
ленное множество решений, в том числе ненулевые решения.
      Доказанная теорема имеет многочисленные применения. В част-
ности докажем с ее помощью следующую теорему.

       Теорема. В пространстве R n любая система из s векторов, где s > n,
линейно зависима.
       Доказательство. Для сокращения записей рассмотрим случай
n = 2, s = 3, т.е. систему из трех векторов в R 2 . Те же рассуждения можно
повторить в общем случае. Итак, пусть
                a1 = (a 1 ,b1 ), a2 = (a 2 ,b 2 ), a3 = (a 3 ,b 3 ),

                                                                        31

Страницы