Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

— три век то ра из
R
2
. На ша цель — по ка зать, что сис те ма
a a a
1
2 3
, ,
ли ней -
но за ви си ма, т.е. что урав не ние
x a x a x a
1 1
2 2 3 3
0+ + =
име ет не ну ле вые ре ше ния.
Ко ор ди на та ми век то ра
x a x a x a
1 1
2 2 3 3
+ +
яв ля ют ся числа
a a a
1 1
2 2 3 3
x x x+ +
;
b b b
1 1
2 2 3 3
x x x+ +
,
по это му мы долж ны по ка зать, что сис те ма
a a a
b b b
1 1
2 2 3 3
1 1
2 2 3 3
0
0
x x x
x x x
+ + =
+ + =
име ет не ну ле вые ре ше ния. Но это пря мо сле ду ет из пре ды ду щей тео -
ремы.
По по во ду об ще го слу чая (n и s — лю бые,
s n>
) за ме тим, что со -
от вет ст вую щая од но род ная сис те ма бу дет со дер жать n урав не ний
(столь ко, сколь ко ко ор ди нат у век то ра из
R
n
) и s не из вест ных (столь -
ко, сколь ко век то ров в сис те ме). По сколь ку
n s<
, не ну ле вые ре ше ния
су ще ст ву ют.
В за клю че ние от ме тим, что ме тод Га ус са мо жет быть с ус пе хом
ис поль зо ван для ре ше ния во про са о том, яв ля ет ся ли дан ная сис те ма
век то ров
a a a
s
1
2
, , ,K
ли ней но за ви си мой. В этом случае во прос за клю -
ча ет ся в том, име ет ли урав не ние
x a x a x a
s s
1 1
2 2
0+ + + =K
(4)
не ну ле вые ре ше ния.
Урав не ние (4) в ко ор ди нат ной за пи си оз на ча ет сис те му п ли ней -
ных урав не ний с s не из вест ны ми. Для ре ше ния сис те мы мож но вос -
поль зо вать ся ме то дом Га ус са. Ес ли ока жет ся, что ре ше ние един ст вен -
ное (т.е. ну ле вое), то сис те ма
a a a
s
1
2
, , ,K
ли ней но не за ви си ма; в про тив -
ном слу чае эта сис те ма ли ней но за ви си ма.
При мер. Да на сис те ма из че ты рех век то ров в
R
5
:
a
a
a
1
2
3
1 3 3 2 5
3 5 2 3 4
3 1 5 0 7
= -
= -
= - - -
( ; ; ; ; ),
( ; ; ; ; ),
( ; ; ; ; ),
a
4
5 7 1 4 1= -( ; ; ; ; ).
(5)
32
— три вектора из R 2 . Наша цель — показать, что система a1 , a2 , a3 линей-
но зависима, т.е. что уравнение
                                   x 1 a1 + x 2 a2 + x 3 a3 = 0
имеет ненулевые решения.
     Координатами вектора x 1 a1 + x 2 a2 + x 3 a3 являются числа
                    a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 ; b1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 ,
поэтому мы должны показать, что система
                                a 1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0
                                b1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0

имеет ненулевые решения. Но это прямо следует из предыдущей тео-
ремы.
      По поводу общего случая (n и s — любые, s > n) заметим, что со-
ответствующая однородная система будет содержать n уравнений
(столько, сколько координат у вектора из R n ) и s неизвестных (столь-
ко, сколько векторов в системе). Поскольку n < s, ненулевые решения
существуют.
      В заключение отметим, что метод Гаусса может быть с успехом
использован для решения вопроса о том, является ли данная система
векторов a1 ,a2 , K , as линейно зависимой. В этом случае вопрос заклю-
чается в том, имеет ли уравнение
      x 1 a1 + x 2 a2 +K+ x s as = 0                                             (4)
ненулевые решения.
      Уравнение (4) в координатной записи означает систему п линей-
ных уравнений с s неизвестными. Для решения системы можно вос-
пользоваться методом Гаусса. Если окажется, что решение единствен-
ное (т.е. нулевое), то система a1 ,a2 , K , as линейно независима; в против-
ном случае эта система линейно зависима.

      Пример. Дана система из четырех векторов в R 5 :
      a1 = (-1; 3; 3; 2; 5),
      a2 = (-3; 5; 2; 3; 4),                                                     (5)
      a3 = (-3; 1; - 5; 0; - 7),
      a4 = (-5; 7; 1; 4; 1).

32

Страницы