Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

-1
0 3 1 0
0 1 2 2 0
0 0 0 1 0
-1
0 3 0 0
0 1 2 0 0
0 0 0 1 0
Про цесс пре об ра зо ва ний за кон чен. По лу чи лась сис те ма урав не -
ний с ба зис ны ми не из вест ны ми
x
1
,
x
2
,
x
3
и сво бод ным не из вест ным
x
3
На ли чие сво бод но го не из вест но го оз на ча ет, что ре ше ний — бес чис лен -
ное мно же ст во. Значит, система векторов (5) — ли ней но за ви си ма.
4) Фор му лы Кра ме ра
Для со кра ще ния за пи сей рас смот рим слу чай
n = 2
. Итак, пусть да -
на система
a x a x b
a x a x b
11 1 12
2
1
21 1
22 2 2
+ =
+ =
или в мат рич ной за пи си:
AX B=
, (6)
где
A
a a
a a
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
11 12
21
22
;
X
x
x
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
1
2
;
B
b
b
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
1
2
.
Пред по ло жим, что мат ри ца А яв ля ет ся не вы ро ж ден ной:
A ¹ 0
.
То гда су ще ст ву ет об рат ная мат ри ца
A
-1
, равная
1
11 21
12
22
A
A A
A A
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
.
Ум но жив обе час ти урав не ния (6) сле ва на
A
-1
, по лу чим
| |
X A B
A
A A
A A
b
b
= =
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-1
11 21
12
22
1
2
1
.
34
                          -1     0          3          1        0
                          0      1          2          2        0
                          0      0          0          1        0
                          -1     0          3          0        0
                          0      1          2          0        0
                          0      0          0          1        0

      Процесс преобразований закончен. Получилась система уравне-
ний с базисными неизвестными x 1 , x 2 , x 3 и свободным неизвестным x 3
Наличие свободного неизвестного означает, что решений — бесчислен-
ное множество. Значит, система векторов (5) — линейно зависима.

      4) Формулы Крамера
      Для сокращения записей рассмотрим случай n = 2. Итак, пусть да-
на система
                               a11 x 1 + a12 x 2 = b1
                               a21 x 1 + a22 x 2 = b2

или в матричной записи:
      AX = B,                                                               (6)
где
           æa      a12 ö     æx ö      æb            ö
      A = çç 11        ÷; X =ç 1 ÷; B =ç 1
                       ÷     ç    ÷    çb            ÷÷ .
           è a21   a22 ø     è x2 ø    è 2            ø
      Предположим, что матрица А является невырожденной: A ¹ 0.
Тогда существует обратная матрица A -1 , равная

                                 1 æ A11        A21 ö
                                    ç                ÷.
                                 A çè A12       A22 ÷ø

      Умножив обе части уравнения (6) слева на A -1 , получим

                                         1 æ A11        A21 öæ b1     ö
                        X = A -1 B =         ç               ÷ç       ÷÷.
                                       | A| çè A12      A22 ÷øçè b2    ø

34

Страницы