Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

т.е.
| |
| |
x
A
A b A b
x
A
A b A b
1 11 1 21
2
2
12 1
22 2
1
1
= +
= +
( );
( ).
По лу чен ные вы ра же ния дня не из вест ных до пус ка ют ин те рес ную
ин тер пре та цию. Рас смот рим на ря ду с мат ри цей А еще две мат ри цы:
A
b a
b a
1
1 12
2 22
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
;
A
a b
a b
2
11 1
21
2
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
.
Ка ж дая из них по лу ча ет ся из А за ме ной со от вет ст вую ще го столб -
ца столб цом В. То гда бу дем иметь:
| |
A b A b A
1 1 11
2 22
= +
(раз ло же ние оп ре де ли те ля
| |
A
1
по пер во му столб цу) и
| |
A b A b A
2
1 12
2 22
= +
(раз ло же ние по вто ро му столб цу). Та ким об ра зом,
| |
x
A
A
1
1
= ;
| |
x
A
A
2
2
=
.
На пи сан ные фор му лы но сят на зва ние пра ви ла Кра ме ра для сис -
те мы
2 2´
. Ана ло гич ным пу тем мож но по лу чить пра ви ло Кра ме ра для
сис те мы
n n´
.
Пра ви ло Кра ме ра для сис те мы
n n´
.
Пусть да на сис те ма
AX B=
n ли ней ных урав не ний с n не из вест ны -
ми. Ес ли
| |
A ¹0
, то сис те ма име ет един ст вен ное ре ше ние.
| | | | | |
x
A
A
x
A
A
x
A
A
n
n
1
1
2
2
= = =; ; , ;K
(7)
где
A
i
оз на ча ет мат ри цу, по лу чен ную из А за ме ной i-го столб ца столб -
цом В (
i n=1 2, , ,K
).
Фор му лы Кра ме ра (7) име ют ско рее тео ре ти че ское, чем прак ти -
че ское зна че ние, так как для на хо ж де ния
x
1
,...,
x
n
тре бу ет ся вы чис лить
n +1
оп ре де ли те лей:
| | | | | |
A A A
n
, , , ,
1
K
что при дос та точ но боль ших n яв ля -
ет ся гро мозд ким де лом.
35
т.е.
                                                      1
                                           x1 =         ( A b + A b2 );
                                                    | A| 11 1 21
                                                      1
                                           x2 =         ( A b + A22 b2 ).
                                                    | A| 12 1
     Полученные выражения дня неизвестных допускают интересную
интерпретацию. Рассмотрим наряду с матрицей А еще две матрицы:
                                           æb           a12 ö        æa               b1 ö
                                     A1 = çç 1              ÷÷; A2 = ç 11                 ÷.
                                                                     ça               b2 ÷ø
                                           è b2         a22 ø        è 21
      Каждая из них получается из А заменой соответствующего столб-
ца столбцом В. Тогда будем иметь:
                         | A1 | = b1 A11 + b2 A22
(разложение определителя | A1 | по первому столбцу) и
                         | A2 | = b1 A12 + b2 A22
(разложение по второму столбцу). Таким образом,

                                             x1 =
                                                        | A1 | ;    x2 =
                                                                           | A2 | .
                                                            A                A
     Написанные формулы носят название правила Крамера для сис-
темы 2 ´ 2. Аналогичным путем можно получить правило Крамера для
системы n ´ n.

      Правило Крамера для системы n ´ n.
      Пусть дана система AX = B n линейных уравнений с n неизвестны-
ми. Если | A| ¹ 0, то система имеет единственное решение.

       x1 =
              | A1 | ; x       =
                                   | A2 | ; K , x       =
                                                            | An | ;                           (7)
                           2                        n
                A                   A                           A
где Ai означает матрицу, полученную из А заменой i-го столбца столб-
цом В (i =1, 2, K , n).
      Формулы Крамера (7) имеют скорее теоретическое, чем практи-
ческое значение, так как для нахождения x 1 ,..., x n требуется вычислить
n +1 определителей: | A|, | A1 |, K , | An |, что при достаточно больших n явля-
ется громоздким делом.
                                                                                               35

Страницы