Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Вы яс нить, яв ля ет ся ли эта сис те ма ли ней но за ви си мой.
Ре ше ние. Пи шем урав не ние
x a x a x a x a
1 1
2 2 3 3 4 4
0+ + + =
или, в ко ор ди нат ной за пи си, — сис те му урав не ний
- - - - =
+ + + =
+ - + =
x x x x
x x x x
x x x x
1
2 3 4
1
2 3 4
1
2 3 4
3 3 5 0
3 5 7 0
3 2 5 0
2 x x x
x x x x
1
2 4
1
2 3 4
3 4 0
5 4 7 0
+ + =
+ - + =
Ес ли эта сис те ма име ет толь ко ну ле вое ре ше ние, то сис те ма век -
то ров (5) ли ней но не за ви си ма. Ес ли же име ют ся и не ну ле вые ре ше ния,
то сис те ма (5) линейно зависима.
При ме ним к дан ной сис те ме урав не ний ме тод Га ус са:
x
1
x
2
x
3
x
4
-1 -3 -3 -5
0
3 5 1 1 0
3 2
-5
1 0
2 3 0 4 0
5 4
-7
1 0
-1 -3 -3 -5
0
0
-4 -8 -8
0
0
-7 -14 -14
0
0
-3 -6 -6
0
0
-11 -22 -24
0
-1 -3 -3 -5
0
0 1 2 2 0
0 0 0
-2
0
33
     Выяснить, является ли эта система линейно зависимой.

     Решение. Пишем уравнение
                     x 1 a1 + x 2 a2 + x 3 a3 + x 4 a4 = 0
или, в координатной записи, — систему уравнений
                          - x1 - 3 x 2 - 3 x 3 - 5 x 4 = 0
                       3 x1 + 5 x 2 + x 3 + 7 x 4 = 0
                       3 x1 + 2 x 2 - 5 x 3 + x 4 = 0
                       2 x1 + 3 x 2 + 4 x 4 = 0
                       5 x1 + 4 x 2 - 7 x 3 + x 4 = 0
      Если эта система имеет только нулевое решение, то система век-
торов (5) линейно независима. Если же имеются и ненулевые решения,
то система (5) линейно зависима.

     Применим к данной системе уравнений метод Гаусса:

                     x1         x2      x3      x4
                     -1         -3      -3      -5       0
                      3         5        1       1       0
                      3         2       -5       1       0
                      2         3        0       4       0
                      5         4       -7       1       0
                     -1         -3      -3      -5       0
                      0         -4      -8      -8       0
                      0         -7     -14     -14       0
                      0         -3      -6      -6       0
                      0        -11     -22     -24       0
                     -1         -3      -3      -5       0
                      0         1        2       2       0
                      0         0        0      -2       0

                                                                 33

Страницы