Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5) Не об хо ди мое и дос та точ ное ус ло вие су ще ст во ва ния не ну ле во го
ре ше ния од но род ной сис те мы
n n´
Мы уже го во ри ли о важ но сти ре ше ния та ко го во про са: име е т ли
дан ная од но род ная сис те ма ли ней ных урав не ний не ну ле вые ре ше ния?
Для од но род ной сис те мы пхп справедлива следующая теорема.
Тео ре ма. Од но род ная сис те ма
n n´
AX B=
име ет не ну ле вое ре ше ние то гда и толь ко то гда, ко гда
| |
A
= 0, т.е. ко гда
мат ри ца А — вы ро ж ден ная.
3.3.4. Ли ней ные эко но ми че ские мо де ли
Мо дель Ле он ть е ва мно го от рас ле вой эко но ми ки
1) Урав не ние ли ней но го меж от рас ле во го ба лан са
Эф фек тив ное ве де ние на род но го хо зяй ст ва пред по ла га ет на ли чие
ба лан са ме ж ду от дель ны ми от рас ля ми. Ка ж дая от расль при этом вы сту -
па ет двоя ко: с од ной сто ро ны, как про из во ди тель не ко то рой про дук -
ции, а с дру гой — как по тре би тель про дук тов, вы ра ба ты вае мых дру ги ми
от рас ля ми. Для на гляд но го вы ра же ния вза им ной свя зи ме ж ду от рас ля -
ми поль зу ют ся оп ре де лен но го ви да таб ли ца ми, на зы вае мы ми таб ли ца -
ми меж от рас ле во го ба лан са. Идея та ких таб лиц бы ла сфор му ли ро ва на
в ра бо тах со вет ских эко но ми стов, а пер вая таб ли ца опуб ли ко ва на ЦСУ
в 1926 г. Од на ко впол не раз ви тая ма те ма ти че ская мо дель меж от рас ле во -
го баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась
позже (1936 г.) в трудах американского экономиста В.Ле он ть е ва .
Пред по ло жим, что вся про из во дя щая сфе ра на род но го хо зяй ст ва
раз би та на не ко то рое чис ло n от рас лей, ка ж дая из ко то рых про из во дит
свой од но род ный про дукт, при чем раз ные от рас ли про из во дят раз ные
про дук ты. Ра зу ме ет ся, та кое пред став ле ние об от рас ли яв ля ет ся в зна -
чи тель ной ме ре аб ст рак ци ей, так как в ре аль ной эко но ми ке от расль оп -
ре де ля ет ся не толь ко на зва ни ем вы пус кае мо го про дук та, но и ве дом ст -
вен ной при над леж но стью сво их пред при ятий (на при мер, дан но му ми -
ни стер ст ву, тре сту и т.п.). Од на ко пред став ле ние об от рас ли в
ука зан ном вы ше смыс ле (как «чис той» от рас ли) все же по лез но, так как
оно по зво ля ет про вес ти ана лиз сло жив шей ся тех но ло ги че ской струк ту -
36
     5) Необходимое и достаточное условие существования ненулевого
решения однородной системы n ´ n
     Мы уже говорили о важности решения такого вопроса: имеет ли
данная однородная система линейных уравнений ненулевые решения?
Для однородной системы пхп справедлива следующая теорема.

      Теорема. Однородная система n ´ n

                                AX = B

имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда | A| = 0, т.е. когда
матрица А — вырожденная.

      3.3.4. Линейные экономические модели

      Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

      1) Уравнение линейного межотраслевого баланса
      Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие
баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом высту-
пает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продук-
ции, а с другой — как потребитель продуктов, вырабатываемых другими
отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отрасля-
ми пользуются определенного вида таблицами, называемыми таблица-
ми межотраслевого баланса. Идея таких таблиц была сформулирована
в работах советских экономистов, а первая таблица опубликована ЦСУ
в 1926 г. Однако вполне развитая математическая модель межотраслево-
го баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась
позже (1936 г.) в трудах американского экономиста В.Леонтьева .
      Предположим, что вся производящая сфера народного хозяйства
разбита на некоторое число n отраслей, каждая из которых производит
свой однородный продукт, причем разные отрасли производят разные
продукты. Разумеется, такое представление об отрасли является в зна-
чительной мере абстракцией, так как в реальной экономике отрасль оп-
ределяется не только названием выпускаемого продукта, но и ведомст-
венной принадлежностью своих предприятий (например, данному ми-
нистерству, тресту и т.п.). Однако представление об отрасли в
указанном выше смысле (как «чистой» отрасли) все же полезно, так как
оно позволяет провести анализ сложившейся технологической структу-
36

Страницы