Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
a a a
a a a
a a a
n
n
n
n nn
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
11 12 1
21
22 2
1
2
K
K
K K K K
K
,
x
x
x
x
n
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
1
2
K
,
y
y
y
y
n
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
1
2
K
.
Век тор
x
на зы ва ет ся век то ром ва ло во го вы пус ка, век тор
y
— век -
то ром ко неч но го по треб ле ния, а мат ри ца A — мат ри цей пря мых за трат.
Со от но ше ние (3) на зы ва ет ся урав не ни ем ли ней но го меж от рас ле во го
ба лан са. Вме сте с из ло жен ной ин тер пре та ци ей мат ри цы А и век то ров
x
и
y
это со от но ше ние на зы ва ют так же мо де лью Ле он ть е ва.
Урав не ния меж от рас ле во го ба лан са мож но ис поль зо вать для це -
лей пла ни ро ва ния. В этом слу чае за да ча ста вит ся так: для пред стоя ще го
пла но во го пе рио да
[ ]
T T
0
1
,
за да ет ся век тор у ко неч но го по треб ле ния.
Тре бу ет ся оп ре де лить век тор ва ло во го вы пус ка. Про ще го во ря, нуж но
ре шить за да чу: сколь ко сле ду ет про из ве сти про дук ции раз лич ных ви -
дов, что бы обес пе чить за дан ный уро вень ко неч но го по треб ле ния?
В этом слу чае не об хо ди мо ре шить сис те му ли ней ных урав не ний (3)
с не из вест ным век то ром
x
при за дан ных мат ри це А и век то ре
y
. При
этом нуж но иметь в ви ду сле дую щие осо бен но сти сис те мы (3):
1. Все ком по нен ты мат ри цы А и век то ра
y
не от ри ца тель ны (это
вы те ка ет из эко но ми че ско го смыс ла А и
y
). Для крат ко сти бу дем го во -
рить о не от ри ца тель но сти са мой мат ри цы А и век то ра
y
и за пи сы вать
это так:
A ³ 0
,
y ³ 0
.
2. Все ком по нен ты век то ра
x
так же долж ны быть не от ри ца тель -
ны ми:
x ³
0.
За ме ча ние. Об ра тим вни ма ние на смысл ко эф фи ци ен тов
a
ij
пря -
мых за трат в слу чае стои мо ст но го (а не на ту раль но го) ба лан са. В э том
слу чае из (2) вид но, что
a
ij
сов па да ет со зна че ни ем
x
ij
при
x
j
= 1 (1 руб.).
Та ким об ра зом,
a
ij
есть стои мость про дук ции от рас ли i, вло жен -
ной в 1 руб. про дук ции от рас ли j. От сю да, ме ж ду про чим, вид но, что
стои мо ст ной под ход по срав не нию с на ту раль ным об ла да ет бо лее ши -
ро ки ми воз мож но стя ми. При та ком под хо де уже не обя за тель но рас -
смат ри вать «чис тые», т.е. од но про дук то вые, от рас ли. Ведь и в слу чае
мно го про дук то вых от рас лей то же мож но го во рить о стои мо ст ном вкла -
де од ной от рас ли в вы пуск 1 руб. про дук ции дру гой от рас ли; ска жем,
о вкла де про мыш лен ной сфе ры в вы пуск 1 руб. сель ско хо зяй ст вен ной
про дук ции или о вкла де про мыш лен ной груп пы А (про из вод ст во
средств про из вод ст ва) в вы пуск 1 руб. про дук ции груп пы В (про из вод -
39
                   æ a11   a12    K a1 n ö      æ x1 ö   æ y1 ö
                   ç                     ÷      ç ÷      ç ÷
                   ça      a22    K a2 n ÷      ç x2 ÷   çy ÷
               A = ç 21                  ÷, x = ç ÷, y = ç 2 ÷.
                     K     K      K K             K        K
                   ç                     ÷      ç ÷      ç ÷
                   ça      an 2   K ann ø÷      ç    ÷   ç    ÷
                   è n1                         è xn ø   è yn ø

      Вектор x называется вектором валового выпуска, вектор y — век-
тором конечного потребления, а матрица A — матрицей прямых затрат.
Соотношение (3) называется уравнением линейного межотраслевого
баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов x
и y это соотношение называют также моделью Леонтьева.
      Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для це-
лей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего
планового периода [T 0 ,T1 ] задается вектор у конечного потребления.
Требуется определить вектор валового выпуска. Проще говоря, нужно
решить задачу: сколько следует произвести продукции различных ви-
дов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления?
В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений (3)
с неизвестным вектором x при заданных матрице А и векторе y . При
этом нужно иметь в виду следующие особенности системы (3):
      1. Все компоненты матрицы А и вектора y неотрицательны (это
вытекает из экономического смысла А и y ). Для краткости будем гово-
рить о неотрицательности самой матрицы А и вектора y и записывать
это так: A ³ 0, y ³ 0.
      2. Все компоненты вектора x также должны быть неотрицатель-
ными: x ³ 0.
      Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов aij пря-
мых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом
случае из (2) видно, что aij совпадает со значением x ij при x j = 1 (1 руб.).
      Таким образом, aij есть стоимость продукции отрасли i, вложен-
ной в 1 руб. продукции отрасли j. Отсюда, между прочим, видно, что
стоимостной подход по сравнению с натуральным обладает более ши-
рокими возможностями. При таком подходе уже необязательно рас-
сматривать «чистые», т.е. однопродуктовые, отрасли. Ведь и в случае
многопродуктовых отраслей тоже можно говорить о стоимостном вкла-
де одной отрасли в выпуск 1 руб. продукции другой отрасли; скажем,
о вкладе промышленной сферы в выпуск 1 руб. сельскохозяйственной
продукции или о вкладе промышленной группы А (производство
средств производства) в выпуск 1 руб. продукции группы В (производ-
                                                                           39

Страницы