Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ст во пред ме тов по треб ле ния). Вме сте с тем на до по ни мать, что пла ни -
ро ва ние ис клю чи тель но в стои мо ст ных ве ли чи нах мо жет лег ко при вес -
ти к дис ба лан су по то ков ма те ри аль но-тех ни че ско го снаб же ния.
2) Про дук тив ные мо де ли Ле он ть е ва
Оп ре де ле ние. Мат ри ца
A >0
на зы ва ет ся про дук тив ной, ес ли для
лю бо го век то ра
y ³ 0
су ще ст ву ет ре ше ние
x ³ 0
урав не ния
x A x y= +
(4)
В этом слу чае и мо дель Ле он ть е ва, оп ре де ляе мая мат ри цей А, то -
же на зы ва ет ся про дук тив ной.
Итак, мо дель Ле он ть е ва про дук тив на, ес ли лю бой век тор
y ³ 0
ко -
неч но го по треб ле ния мож но по лу чить при под хо дя щем ва ло вом вы пус -
ке
x ³ 0
.
По ка жем, что нет не об хо ди мо сти тре бо вать су ще ст во ва ния ре ше -
ния
x ³ 0
урав не ния (4) для лю бо го век то ра
y ³ 0
. Дос та точ но, что бы та -
кое ре ше ние су ще ст во ва ло хо тя бы для одного вектора 0.
Ус ло вим ся в даль ней шем пи сать
y ³ 0
и на зы вать век тор
y
по ло -
жи тель ным, ес ли все ком по нен ты это го век то ра стро го положительны.
Тео ре ма 1 (пер вый кри те рий про дук тив но сти). Ес ли
A ³ 0
и для
не ко то ро го по ло жи тель но го век то ра
y
*
урав не ние (4) име ет ре ше ние
x
*
³ 0
, то мат ри ца А про дук тив на.
За ме тим, что на са мом де ле
x
*
> 0
, что сле ду ет из
x A x y
* * *
= +
и
A ³ 0
,
x
*
> 0
,
y
*
> 0
.
Урав не ние Ле он ть е ва (4) мож но за пи сать сле дую щим об ра зом:
( )E A x y- =
, (5)
где Е — еди нич ная мат ри ца. Воз ни ка ет, ес те ст вен но, во прос об об ра ще -
нии мат ри цы
E A-
.
По нят но, что ес ли об рат ная мат ри ца
( )E A-
-1
су ще ст ву ет, то из
(5) вы те ка ет
x E A y= -
-
( )
1
. (6)
40
ство предметов потребления). Вместе с тем надо понимать, что плани-
рование исключительно в стоимостных величинах может легко привес-
ти к дисбалансу потоков материально-технического снабжения.

      2) Продуктивные модели Леонтьева

     Определение. Матрица A > 0 называется продуктивной, если для
любого вектора y ³ 0 существует решение x ³ 0 уравнения
      x = Ax +y                                                           (4)
      В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, то-
же называется продуктивной.
      Итак, модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор y ³ 0 ко-
нечного потребления можно получить при подходящем валовом выпус-
ке x ³ 0.
      Покажем, что нет необходимости требовать существования реше-
ния x ³ 0 уравнения (4) для любого вектора y ³ 0. Достаточно, чтобы та-
кое решение существовало хотя бы для одного вектора 0.
      Условимся в дальнейшем писать y ³ 0 и называть вектор y поло-
жительным, если все компоненты этого вектора строго положительны.

       Теорема 1 (первый критерий продуктивности). Если A ³ 0 и для
некоторого положительного вектора y * уравнение (4) имеет решение
x * ³ 0, то матрица А продуктивна.
       Заметим, что на самом деле x * > 0, что следует из x * = A x * + y * и
A ³ 0, x * > 0, y * > 0.

      Уравнение Леонтьева (4) можно записать следующим образом:

      (E - A) x = y ,                                                     (5)

где Е — единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обраще-
нии матрицы E - A.
      Понятно, что если обратная матрица (E - A) -1 существует, то из
(5) вытекает
      x = (E - A) -1 y .                                                  (6)




40

Страницы