Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер 2. Для мат ри цы
A =
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
01 0 0 6
0 2 0 7 0
0 4 0 2 0 3
, ,
, ,
, , ,
сум ма эле мен тов ка ж до го столб ца мень ше еди ни цы. Сле до ва тель но,
А про дук тив на.
Ана ло гич но до ка зы ва ет ся, что ес ли в не от ри ца тель ной мат ри це А
сум ма эле мен тов лю бой стро ки мень ше 1, то мат ри ца А про дук тив на.
Впро чем, то же са мое мож но вы вес ти и из сле дую ще го пред ло же ния: ес -
ли про дук тив на мат ри ца А, то про дук тив на и мат ри ца
A
T
, что сле ду ет из
тео ре мы 2.
Пусть
A > 0
— про дук тив ная мат ри ца. За па сом про дук тив но сти
мат ри цы А на зо вем та кое чис ло
a > 0
, что все мат ри цы
l A
, где
1 1£ £ +l a
, про дук тив ны, а мат ри ца
( )1+a A
— не про дук тив на.
При мер 3. Вы яс ним, ка кой за пас про дук тив но сти име ет мат ри ца
А из при ме ра 1.
Ре ше ние. Бу дем ру ко во дство вать ся кри те ри ем про дук тив но сти из
тео ре мы 2 (су ще ст во ва ние не от ри ца тель ной мат ри цы
( )E A-
-1
). В дан -
ном слу чае
E A- =
- -
- -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
l
l l
l l
1 02 0 6
0 9 1 03
, ,
, ,
.
Оп ре де ли тель этой мат ри цы
| |
D = - = - - = - - +E Al l l l l( , )( , ) , ,1 02 1 03 0 48 0 5 1
2
.
Об рат ной мат ри цей бу дет
( )
, ,
, ,
E A- =
-
-
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
-
l
l l
l l
1
1 03 0 6
0 9 1 02
D D
D D
.
Для про дук тив но сти мат ри цы
l A
нуж но, что бы все эле мен ты об -
рат ной мат ри цы бы ли не от ри ца тель ны. Это воз мож но лишь ес ли
D > 0
,
1- 0, 2l > 0
,
1 03- , l > 0
. При бли жен ные кор ни урав не ния
D
= 0 суть
l
1
2 06= ,
и
l
2
1015= ,
, по это му
( )E A-
-
l
1
ес ли
l < 1,015
. При
l l<
2
мат ри -
42
      Пример 2. Для матрицы
                                   æ 01
                                      ,   0 0,6 ö
                                   ç             ÷
                               A = ç 0,2 0,7 0 ÷
                                   ç 0,4 0,2 0,3 ÷
                                   è             ø
сумма элементов каждого столбца меньше единицы. Следовательно,
А продуктивна.
       Аналогично доказывается, что если в неотрицательной матрице А
сумма элементов любой строки меньше 1, то матрица А продуктивна.
Впрочем, то же самое можно вывести и из следующего предложения: ес-
ли продуктивна матрица А, то продуктивна и матрица A T , что следует из
теоремы 2.
       Пусть A > 0 — продуктивная матрица. Запасом продуктивности
матрицы А назовем такое число a > 0, что все матрицы l A, где
1 £ l £ 1 + a, продуктивны, а матрица (1+a ) A — непродуктивна.

      Пример 3. Выясним, какой запас продуктивности имеет матрица
А из примера 1.
      Решение. Будем руководствоваться критерием продуктивности из
теоремы 2 (существование неотрицательной матрицы (E - A) -1 ). В дан-
ном случае
                                    æ 1 - 0,2l -0,6l ö
                          E - lA = çç                ÷÷.
                                    è -0,9l 1 - 0,3l ø
      Определитель этой матрицы
              D = |E - lA| = (1 - 0,2l)(1 - 0,3l) = -0,48l 2 - 0,5l +1.

      Обратной матрицей будет
                                         æ 1 - 0,3l     0,6l     ö
                                         ç                       ÷
                        (E - lA)   -1
                                        =ç D              D      ÷.
                                         ç 0,9l       1 - 0,2l   ÷
                                         ç                       ÷
                                         è D              D      ø
        Для продуктивности матрицы l A нужно, чтобы все элементы об-
ратной матрицы были неотрицательны. Это возможно лишь если D > 0,
1- 0,2l > 0, 1 - 0,3l > 0. Приближенные корни уравнения D = 0 суть
                    , , поэтому (E - l A) -1 если l < 1,015. При l < l 2 матри-
l 1 = 2,06 и l 2 = 1015

42

Страницы