Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Тео ре ма 2 (вто рой кри те рий про дук тив но сти). Мат ри ца
A ³ 0
про -
дук тив на то гда и толь ко то гда, ко гда мат ри ца
( )E A-
-1
су ще ст ву ет и не -
от ри ца тель на.
При мер 1. Ис сле ду ем на про дук тив ность мат ри цу
A =
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
0 2 0 6
0 9 0 7
, ,
, ,
.
В дан ном слу чае
E A- =
-
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
0 8 0 6
0 9 0 7
, ,
, ,
.
Про ве дя не об хо ди мые вы чис ле ния, по лу чим мат ри цу
( )E A-
-1
,
ко то рая су ще ст ву ет и рав на
35 30
45 40
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
.
Мы ви дим, что эта мат ри ца не от ри ца тель на. Сле до ва тель но,
А про дук тив на.
Про дол жим ана лиз про дук тив но сти мо де ли Ле он ть е ва. Пусть а —
не ко то рое чис ло. Из кур са ма те ма ти че ско го ана ли за из вест но, что ес ли
ряд
1
2
+ + +a a K
(бес ко неч ная гео мет ри че ская про грес сия) схо дит ся (ус ло ви ем это го яв -
ля ет ся
a < 1
), то его сум ма рав на
( )1
1
-
-
a
. Ана ло гич ное пред ло же ние име -
ет ме сто при за ме не чис ла а мат ри цей А.
Лем ма. Ес ли бес ко неч ный ряд (из мат риц)
1
2
+ + +A A K
(7)
схо дит ся, то его сум ма есть мат ри ца
( )E A-
-1
.
Тео ре ма 3 (тре тий кри те рий про дук тив но сти). Мат ри ца
A >0
про -
дук тив на то гда и толь ко то гда, ко гда схо дит ся бес ко неч ный ряд
E A A+ + +
2
K
(8)
41
     Теорема 2 (второй критерий продуктивности). Матрица A ³ 0 про-
дуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E - A) -1 существует и не-
отрицательна.

      Пример 1. Исследуем на продуктивность матрицу
                                   æ 0,2 0,6 ö
                              A = çç         ÷÷.
                                   è 0,9 0,7 ø
      В данном случае
                                    æ 0,8 -0,6 ö
                           E - A = çç          ÷÷.
                                    è -0,9 0,7 ø
     Проведя необходимые вычисления, получим матрицу (E - A) -1 ,
которая существует и равна
                                æ 35 30 ö
                                çç       ÷÷.
                                 è 45 40 ø
     Мы видим, что эта матрица неотрицательна. Следовательно,
А продуктивна.
     Продолжим анализ продуктивности модели Леонтьева. Пусть а —
некоторое число. Из курса математического анализа известно, что если
ряд
                               1+ a + a2 + K

(бесконечная геометрическая прогрессия) сходится (условием этого яв-
ляется a < 1), то его сумма равна (1 - a) -1 . Аналогичное предложение име-
ет место при замене числа а матрицей А.

      Лемма. Если бесконечный ряд (из матриц)
     1+ A + A 2 +K                                                      (7)
сходится, то его сумма есть матрица (E - A) -1 .

     Теорема 3 (третий критерий продуктивности). Матрица A > 0 про-
дуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд
      E + A + A2 +K                                                     (8)

                                                                        41

Страницы