ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
то ром этой точ ки
r
r
. То гда ко ор ди на ты точ ки
P x x x( , , )
0
1
0
2
0
3
на зы ва ют ся
ко ор ди на та ми век то ра
r
r
(ри су нок 1).
5) Вве дем еди нич ные век то ры (ин декс — вни зу):
r
i
1
,
i
2
,
r
i
3
(ор ты) с
ко ор ди на та ми
r
i
1
=(1,0,0),
i
2
=(0,1,0),
r
i
3
=(0,0,1), ко то рые име ют дли ну 1, и
вза им но пер пен ди ку ляр ны. То гда, лю бой век тор при мет вид:
r
a
= x
1
r
i
1
+ x
2
r
i
2
+ x
3
r
i
3
=
x i
k
k
k
r
=
å
1
3
.
(1)
Для двух век то ров
r
a
=(x
1
,x
2
,x
3
) и
r
b
=(y
1
,y
2
,y
3
) чис ло
(
r
a
,
r
b
)=
x y
i
i
i =
å
1
3
(2)
на зы ва ет ся евк ли до вым ска ляр ным про из ве де ни ем век то ров. Де кар то вы
ко ор ди на ты x
1
,x
2
,x
3
, в ко то рых ска ляр ное про из ве де ние име ет вид (2)
на зы ва ют ся евк ли до вы ми, а про стран ст во — евк ли до вым.
6) Мож но дать дру гое оп ре де ле ние евк ли до во го про стран ст ва.
Пусть да ны две точ ки: P(x
1
, x
2
, x
3
) и Q(y
1
, y
2
, y
3
).
То гда, ес ли квад рат дли ны пря мо ли ней но го от рез ка PQ ра вен:
l x y x y x y
2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
= - + - + -( ) ( ) ( )
(по тео ре ме Пи фа го ра), про стран -
ст во на зы ва ет ся евк ли до вым и ко ор ди на ты — евк ли до вы ми:
l x y
i i
i
2 2
1
3
= -
=
å
( ) .
(3)
Угол ме ж ду век то ра ми
r
a
и
r
b
оп ре де ля ет ся по фор му ле:
cos
( , )
| | | |
j =
×
r
r
r
r
a b
a b
.
Ес ли в рас смат ри вае мом про стран ст ве не пред по ла га ет ся воз мож -
ным вве де ние дли ны
l
, то та кое про стран ст во на зы ва ет ся аф фин ным век -
тор ным про стран ст вом.
При мер аф фин но го про стран ст ва: по ко ор ди нат ным осям от кла -
ды ва ют ся дав ле ние, объ ем, тем пе ра ту ра. По ня тие рас стоя ния ме ж ду
точ ка ми в та ком пространстве бессмысленно.
Евк ли до во про стран ст во, в ко то ром вве де но рас стоя ние (3) на зы -
ва ет ся ли ней ным (век тор ным) про стран ст вом (или мет ри че ским).
18
r
тором этой точки r . Тогда координаты точки P ( x 01 , x 02 , x 03 ) называются
r
координатами вектора r (рисунок 1).
r r
5) Введем единичные векторы (индекс — внизу): i1 , i 2 , i 3 (орты) с
r r
координатами i1 =(1,0,0), i 2 =(0,1,0), i 3 =(0,0,1), которые имеют длину 1, и
взаимно перпендикулярны. Тогда, любой вектор примет вид:
r r r r 3 r
a= x1i1 + x2i 2 + x3i 3 =å x k i k . (1)
k =1
r r
Для двух векторов a=(x1,x2,x3) и b=(y1,y2,y3) число
r r 3
(a,b)=å x i y i (2)
i =1
называется евклидовым скалярным произведением векторов. Декартовы
1 2 3
координаты x ,x ,x , в которых скалярное произведение имеет вид (2)
называются евклидовыми, а пространство — евклидовым.
6) Можно дать другое определение евклидового пространства.
Пусть даны две точки: P(x1, x2, x3) и Q(y1, y2, y3).
Тогда, если квадрат длины прямолинейного отрезка PQ равен:
l 2 = ( x 1 - y 1 ) 2 + ( x 2 - y 2 ) 2 + ( x 3 - y 3 ) 2 (по теореме Пифагора), простран-
ство называется евклидовым и координаты — евклидовыми:
3
l 2 = å( x i - y i ) 2 . (3)
i =1
r r
Угол между векторами a и b определяется по формуле:
r r
(a , b )
cos j = r r .
| a |×| b |
Если в рассматриваемом пространстве не предполагается возмож-
ным введение длины l, то такое пространство называется аффинным век-
торным пространством.
Пример аффинного пространства: по координатным осям откла-
дываются давление, объем, температура. Понятие расстояния между
точками в таком пространстве бессмысленно.
Евклидово пространство, в котором введено расстояние (3) назы-
вается линейным (векторным) пространством (или метрическим).
18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
