Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

двоя ко по двум вза им ным ба зис ным век то рам (
r
e
1
,
r
e
2
,
r
e
3
) и (
r
e
1
,
r
e
2
,
r
e
3
) (би -
ортогональным), удовлетворяющим условию:
r r
e e
i k
i k
i
k k
i
= =
¹
=
ì
í
î
d
0
1
( )
( )
,
d
k
i
— сим вол Кро не ке ра,
то есть ка ж дый век тор од но го ба зи са пер пен ди ку ля рен к двум век то рам
вза им но го ба зи са, а с треть им век то ром, ин декс ко то ро го име ет то же
чис лен ное зна че ние, со став ля ет ост рый угол (век то ры ка ж до го ба зи са
r
e
рас по ло же ны друг к дру гу под про из воль ны ми уг ла ми и мо ду ли их от ли -
ча ют ся от еди ни цы).
3) Ес ли есть два век тор ных ба зи са: один — в ис ход ной сис те ме ко -
ор ди нат (
r
e
1
,
r
e
2
,
r
e
3
) и дру гой — в но вой сис те ме ко ор ди нат (
r
E
1
,
r
E
2
,
r
E
3
), то
век тор в од ном ба зи се мож но раз ло жить по век то рам вто ро го ба зи са и
на обо рот:
r
r r r
E e e e
1 1
1
1 1
2
2
1
3
3
= + +
¢ ¢ ¢
a a a
r
r r r
E e e e
2 2
1
1
2
2
2 2
3
3
= + +
¢ ¢ ¢
a a a
или
r
r
E e
m m
k
k
k
=
=
å
a
1
3
(5)
r
r r r
E e e e
3 3
1
1
3
2
2 3
3
3
= + +
¢ ¢ ¢
a a a ,
где
a
m
1
,
a
m
2
,
a
m
3
— ко эф фи ци ен ты раз ло же ния век то ра
r
E
по век то рам ба -
зи са
r
e
1
,
r
e
2
,
r
e
3
.
Ана ло гич но, ко эф фи ци ен ты раз ло же ния век то ра
r
e
k
по век то рам
r
E
1
,
r
E
2
,
r
E
3
обо зна чим че рез:
a a a
k k k
¢ ¢ ¢
1 2 3
:
r
r
e E
k k
m
m
m
=
¢
=
å
a .
1
3
(6)
4) Ме ж ду ко эф фи ци ен та ми пря мо го и об рат но го пре об ра зо ва ния
су ще ст ву ет связь:
E e e e E E
i i i i i
= + + = + +
¢ ¢ ¢ ¢
¢
¢ ¢
a a a a a a a
1
1
2
2
3
3
1
1
1
1 1
2
2
1
3
r r r
( E
E
E
i i i
i
l
l
3
1
1
1 2
2
1 3
3
1
1
1
1
)
( )
+ =
= + + + =
=
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
K
Ka a a a a a
a a
¢
=
¢
¢
=
¢
¢
= =
¢
å å å å
+ + =
l
i
l
l
l
i
l
l
l
k
k
i
l
E E E
1
3
2
2
1
3
3
3
1
3
1
3
a a a a a a
l
k
l
¢
=
å
1
3
(7)
20
                                           r r r             r r r
двояко по двум взаимным базисным векторам (e1 ,e 2 ,e 3 ) и (e 1 ,e 2 ,e 3 ) (би-
ортогональным), удовлетворяющим условию:

                      r r              ì0 (i ¹ k) i
                      e i e k = d ik = í         , d k — символ Кронекера,
                                       î1 (i = k)

то есть каждый вектор одного базиса перпендикулярен к двум векторам
взаимного базиса, а с третьим вектором, индекс которого имеет тоже r
численное значение, составляет острый угол (векторы каждого базиса e
расположены друг к другу под произвольными углами и модули их отли-
чаются от единицы).

     3) Если есть два векторных базиса: один — в исходнойr сис     r теме
                                                                        r ко-
         r r r
ординат (e1 ,e 2 ,e 3 ) и другой — в новой системе координат (E 1 ,E 2 ,E 3 ), то
вектор в одном базисе можно разложить по векторам второго базиса и
наоборот:
      r           r          r           r
     E 1 = a 11 ¢ e1 + a 12¢ e 2 + a 13¢ e 3
        r            r           r            r       r     3     r
        E 2 = a 12 ¢ e1 + a 22 ¢ e 2 + a 32 ¢ e 3 или E m = åa km e k                            (5)
                                                                k =1
        r            r           r            r
        E 3 = a 13 ¢ e1 + a 23 ¢ e 2 + a 33 ¢ e 3 ,
                                                          r
где a 1m , a 2m , a 3m — коэффициенты разложения вектора E по векторам ба-
       r r r
зиса e1 ,e 2 ,e 3 .
                                                            r
 r r Ана  r логично, коэффици       енты разложения вектора e k по векторам
E 1 ,E 2 ,E 3 обозначим через: a 1k¢a 2k ¢a 3k ¢ :
        r     3       r
        e k = åa mk ¢ E m .                                                                      (6)
               m =1


     4) Между коэффициентами прямого и обратного преобразования
существует связь:
                  r           r            r
     E i = a 1i ¢ e1 + a 2i ¢ e 2 + a 3i ¢ e 3 = a 1i ¢ (a 11 ¢ E 1 + a 12 ¢ E 2 + a 13 ¢ E 3 )+K =
             = (a 1i ¢a 11 ¢ + a 2i ¢a 12¢ + a 3i ¢a 13¢ )E 1 +K =                               (7)
                       3                     3                   3         3       3
             = E 1 åa li ¢a 1l ¢ + E 2 åa li ¢a 2l ¢ + E 3 åa li ¢a 3l ¢ = å E k åa li ¢a kl ¢
                      l =1                  l =1                l =1      k =1    l =1


20

Страницы