Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A A A A A
ii ii
i
= = + +
=
å
11
22 33
1
3
A B A B A B A B A B
i
i
i
i
i
= = + +
=
å
1
1
2
2
3
3
1
3
A B c B A c B A c A c A c
i
k i k
i
i k
i
= = + +
=
å
( )
1
1
2
2
3
3
1
3
Век тор, пре об ра зую щий ся по фор му лам (5) и (6) на зы ва ет ся ко ва -
ри ант ным век то ром или ко век то ром (индекс внизу).
2) Контр ва ри ант ный век тор
Под ста вим в вы ра же ние для век то ра
x e
k
k
k
r
=
å
1
3
фор му лу (6):
x e x E X E X x
k
k
k
k
k
m
m
m
m
m
mk
m k
r
r r
=
¢
= ==
å å åå
= = =
1
3
1
3
1
3
1
3
a ,где a
k
m
k
¢
=
å
.
1
3
(9)
Ана ло гич но:
X E X e x e x X
m
m
m
m
m
k
k
k
k
k
km
k m
r
r r
= = ==
å å åå
= = =
1
3
1
3
1
3
1
3
a a,где
m
k
m =
å
1
3
.
(10)
Фор му ла (9) да ет пре об ра зо ва ние но вых ко ор ди нат век то ра X
m
в
ста рые
x
k
, а фор му ла (10) — об рат ное пре об ра зо ва ние ста рых ко ор ди -
нат
x
k
в но вые X
m
.
По лу чи лись фор му лы, об рат ные фор му лам пре об ра зо ва ния еди -
нич ных век то ров (5), (6). Та кой век тор на зы ва ют контр ва ри ант ным
(ин декс ввер ху), или просто — вектором.
Пре об ра зо ва ние ко ор ди нат мож но пред ста вить в мат рич ном виде.
а) для контр ва ри ант но го пре об ра зо ва ния:
$ $
$
u U
k
m
k m
m
=
=
å
a
1
3
,
$
a
m
k
—
мат ри ца пре об ра зо ва ния. Сум ми ро ва ние идет по ин дек су, оз на чаю ще -
му но мер стро ки, вдоль k-го столб ца. Здесь
$
u
k
и
U
m
— столб цо вые мат -
ри цы. Ес ли вве сти транс по ни ро ван ную мат ри цу
~
a
, то дан ная фор му ла
при мет вид про из ве де ния двух мат риц:
$
~
$
$
u U= ×a
. Об рат но:
$ ~
$
$
U u= ×
-
a
1
(смот ри правила умножения матриц).
б) для ко ва ри ант но го пре об ра зо ва ния:
$
$ $
.U u
m m
k
k
k
=
=
å
a
1
3
22
                                               3
                                 Aii = å Aii = A11 + A22 + A33
                                              i =1


                                    3
                      Ai B i = å Ai B i = A1 B 1 + A2 B 2 + A3 B 3
                                   i =1


                                          3
                 Ai B k c i = B k å Ai c i = B k ( A1 c 1 + A2 c 2 + A3 c 3 )
                                        i =1


     Вектор, преобразующийся по формулам (5) и (6) называется кова-
риантным вектором или ковектором (индекс внизу).

      2) Контрвариантный вектор
                                        3     r
      Подставим в выражение для вектора å x k e k формулу (6):
                                                                      k =1
       3    r     3 3            r     3     r               3
      å x k e k = å å x k a mk ¢ E m = å X m E m , где X m = å x k a mk ¢ .
      k =1        k =1 m =1                          m =1                      k =1
                                                                                                     (9)

      Аналогично:
       3    r     3 3          r     3     r               3
      å X m E m = å å X m a km e k = å x k e k , где x k = å X m a km .
      m =1           m =1 k =1                         k =1                  m =1
                                                                                                 (10)

       Формула (9) дает преобразование новых координат вектора Xm в
старые x k , а формула (10) — обратное преобразование старых коорди-
нат x k в новые Xm.
       Получились формулы, обратные формулам преобразования еди-
ничных векторов (5), (6). Такой вектор называют контрвариантным
(индекс вверху), или просто — вектором.
       Преобразование координат можно представить в матричном виде.
                                                      3
       а) для контрвариантного преобразования: u$ k = a$ k U$ m , a$ k —              å      m   m
                                                                                      m =1

матрица преобразования. Суммирование идет по индексу, означающе-
му номер строки, вдоль k-го столбца. Здесь u$ k и U m — столбцовые мат-
рицы. Если ввести транспонированную матрицу a,     ~ то данная формула
                                               $
примет вид произведения двух матриц: u$ = a ×U . Обратно: U$ = a
                                               ~  $               ~$ -1 × u$
(смотри правила умножения матриц).
     б) для ковариантного преобразования:
                                                              3
                                               U$ m = åa$ km u$ k .
                                                            k =1


22

Страницы