Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Мат ри ца Яко би
J
x
r
x
x
r
x
r
r
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
=
-
1 1
2 2
j
j
j j
j
cos sin
sin cosj
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
;
j J r= =det
(12)
б) ци лин д ри че ские ко ор ди на ты: (r, j, z); трех мер ное про стран -
ст во:
x r
x r
x z
( )
( )
( )
cos
sin .
1
2
3
= ×
= ×
=
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
j
j
Мат ри ца Яко би
J
r
r=
-
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
cos sin
sin cos
j j
j j
0
0
0 0 1
;
j J r= =det
(13)
в) сфе ри че ские ко ор ди на ты: (r,q,j); трех мер ное про стран ст во
x r
x r
x r
( )
( )
( )
cos sin
sin sin
cos
1
2
3
= × ×
= × ×
= ×
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
j q
j q
q
.
J
r r
r=
× × × - × ×
× × ×
cos sin cos cos sin sin
sin sin sin
j q j q j q
j q j cos cos sin
cos sin
q j q
q
r
r
× ×
- ×
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
0
;
detJ r= ×
2
sinq
(14)
3) Век тор ти па grad
( )f
(гра ди ент функ ции)
Ес ли рас смат ри вае мый объ ект ха рак те ри зу ет ся толь ко чис лом
(ска ляр), то го во рят о ска ляр ной функ ции точ ки. Го во рят так же, что в
рас смат ри вае мой об лас ти про стран ст ва за да но ска ляр ное по ле. На при -
мер, плот ность за ря да в раз лич ных точ ках изо ли ро ван но го те ла пред -
став ля ет со бой ска ляр ную функ цию точ ки. Элек три че ские за ря ды
создают скалярное поле плотности электрических зарядов.
24
        Матрица Якоби
            æ ¶x 1 ¶x 1 ö
            ç           ÷
        J = ç ¶r2   ¶j ÷ = æç cos j -r sin j ö÷ ; j = detJ = r                         (12)
            ç ¶x   ¶x 2 ÷ çè sin j r cos j ÷ø
            ç           ÷
            è ¶r    ¶j ø
        б) цилиндрические координаты: (r, j, z); трехмерное простран-
ство:

                                      x (1 ) = r × cos jü
                                                         ïï
                                      x ( 2 ) = r × sin jý.
                                      x (3) = z           ï
                                                          ïþ

        Матрица Якоби
            æ cos j -r sin j 0 ö
            ç                   ÷
        J = ç sin j r cos j 0 ÷; j = detJ = r                                          (13)
            ç 0        0     1 ÷ø
            è
        в) сферические координаты: (r,q,j); трехмерное пространство

                                  x (1 ) = r × cos j × sin q ü
                                                              ïï
                                  x ( 2 ) = r × sin j × sin q ý.
                                  x ( 3 ) = r × cos q          ï
                                                               ïþ

            æ cos j × sin q r × cos j × cos q -r × sin j × sin q ö
            ç                                                    ÷
        J = ç sin j × sin q r × sin j × cos q r × cos j × sin q ÷; detJ = r 2 × sinq   (14)
            ç     cos           -r × sin q            0          ÷
            è                                                    ø

      3) Вектор типа grad ( f ) (градиент функции)
      Если рассматриваемый объект характеризуется только числом
(скаляр), то говорят о скалярной функции точки. Говорят также, что в
рассматриваемой области пространства задано скалярное поле. Напри-
мер, плотность заряда в различных точках изолированного тела пред-
ставляет собой скалярную функцию точки. Электрические заряды
создают скалярное поле плотности электрических зарядов.
24

Страницы