Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ес ли
f x x x( , , )
( ) ( ) ( )1 2 3
— чи сло вая функ ция (ска ляр ная), то вы ра -
же ние
grad( ) ; ;
( )
( ) ( )
f
f
x
f
x
f
x
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
1
2 3
на зы ва ет ся гра ди ен том этой функ -
ции или век то ром с ком по нен та ми
æ
è
ç
ö
ø
÷
f
x
f
x
f
x
( )
( ) ( )
; ;
1
2 3
. Та ким об ра зом
grad( )
( )
( ) ( )
f
f
x
e
f
x
e
f
x
e=
+
+
1
1
2
2
3
3
r r r
(15)
Пусть в сис те ме ко ор ди нат
X
m
за дан век тор
r
a
f
X
m
m
=
, (k=1,2,3).
Пе рей дем в сис те му ко ор ди нат
x
k
:
grad( ) ; ;
( )
( ) ( )
f
f
x
f
x
f
x
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
1
2 3
,
=
×
f
x
f
X
X
x
k m
m
k
; обо зна чим
f
x
k
че рез
r
a
k
.
Та ким об ра зом,
r r
a
X
x
a
k
m
k
m
=
(сум ми ро ва ние по m), то есть гра ди ент
функ ции при за ме не ко ор ди нат пре об ра зу ет ся как ко век тор.
Ес ли ска ляр ная функ ция
f m n( , , )K
яв ля ет ся слож ной функ ци ей
не сколь ких ска ля ров
m n, , ,K
ко то рые са ми яв ля ют ся функ ция ми ко ор -
ди нат
( , , )
( ) ( ) ( )
x x x
1 2 3
, то гда
grad grad grad( ) ( ) ( )f
f
m
m
f
n
n=
+
+K
Срав ни вая эту фор му лу с фор му лой пол но го диф фе рен циа ла:
df
f
x
dx
f
y
dy
f
z
dz=
+
+
Лег ко ви деть, что сим вол grad ве дет се бя точ но так же, как сим вол
диф фе рен циа ла:
grad grad gr ad( )m n m n+ = +
grad grad grad( )m n m n n m× = × + ×
В ци лин д ри че ских ко ор ди на тах:
Ñ =
r
r
f
f
;
Ñ =
j
r j
f
f
1
;
Ñ =
z
f
f
z
25
     Если f ( x (1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) )— числовая функция (скалярная), то выра-
                  æ ¶f             ¶f       ¶f ö
жение grad( f ) = ç (1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) ÷ называется градиентом этой функ-
                  è ¶x           ¶x        ¶x ø
                                                 æ ¶f   ¶f   ¶f ö
ции или вектором с компонентами ç (1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) ÷. Таким образом
                                                 è ¶x  ¶x  ¶x ø
                      ¶f         r    ¶f r        ¶f r
       grad( f ) =        (1 )
                                 e1 + ( 2 ) e 2 + ( 3 ) e 3                              (15)
                     ¶x              ¶x          ¶x
                                                                         r     ¶f
        Пусть в системе координат X m задан вектор am =                            , (k=1,2,3).
                                                                              ¶X m
                                                                         æ ¶f      ¶f    ¶f ö
Пе рей дем в сис те му ко ор ди нат x k : grad( f ) = ç (1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) ÷,
                                                                         è ¶x    ¶x     ¶x ø
 ¶f      ¶f ¶X         m
                                              ¶f           r
    k
      =    m
               × k ; обозначим k через ak .
¶x      ¶X       ¶x                          ¶x
                                       r ¶X m r
        Таким образом, ak =                      am (суммирование по m), то есть градиент
                                           ¶x k
функции при замене координат преобразуется как ковектор.
        Если скалярная функция f (m, n,K) является сложной функцией
нескольких скаляров m, n,K, которые сами являются функциями коор-
                                                        ¶f            ¶f
динат ( x (1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) ), тогда grad( f ) =      grad(m) + grad(n)+K
                                                        ¶m            ¶n
        Сравнивая эту формулу с формулой полного дифференциала:
                                             ¶f     ¶f   ¶f
                                      df =      dx + dy + dz
                                             ¶x     ¶y   ¶z

    Легко видеть, что символ grad ведет себя точно так же, как символ
дифференциала:

                                    grad(m + n) = grad m + grad n

                                  grad(m × n) = m × grad n + n × grad m

       В цилиндрических координатах:
                                          ¶f         1 ¶f          ¶f
                                 Ñr f =      ;Ñj f =      ;Ñ z f =
                                          ¶r         r ¶j          ¶z

                                                                                            25

Страницы