Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В но вой сис те ме ко ор ди нат:
( ; ) ( )( ) ( ; )
r r
a a b b g b b
m
k m
m
k m
ml
m m
k
1
2
1
2
1
2
1
3
= =
=
å
a a
,
где мат ри ца:
g
ml m
k
l
k
k
=
=
å
a a
1
3
сов па да ет с вве ден ной ра нее (16).
Фор му ла (16) на язы ке мат риц оз на ча ет:
$
~
$
$
G A A= ×
, где
~
$
A
— транс -
по ни ро ван ная мат ри ца
$
A
.
Ве ли чи на
g
ml
иг ра ет цен траль ную роль в со вре мен ной гео мет рии
и ее смысл бу дет вы яс нен не сколь ко поз же (раздел 3.2.4)
Итак, век тор
r
A
мож но раз ло жить как по век то рам ос нов но го ба зи -
са
r
e
k
:
r
r r r r r
A A e A e A e A e A e
k
k
k
k
k
= + + = =
=
å
1
1
2
2
3
3
1
3
(17)
так и по век то рам вза им но го ба зи са:
r
r r r r r
A A e A e A e A e A e
k
k
k
k
k
= + + = =
=
å
1
1
2
2
3
3
1
3
(18)
Пря мое пре об ра зо ва ние ко ва ри ант ных ком по нент вы пол ня ет ся
при по мо щи ко эф фи ци ен тов
a
i
k
¢
пря мо го пре об ра зо ва ния
( )A A
i
k
k
¢=
¢
a
,
а контр ва ри ант ных ком по нент — при по мо щи ко эф фи ци ен тов
a
k
i ¢
об -
рат но го пре об ра зо ва ния
( )A A
i
k
i k
¢=
¢
a
.
Об рат ные фор му лы:
A A
i i
k
k
= ¢
¢
a ( )
;
A A
i
k
i k
= ¢
¢
a ( ) .
Не труд но ви деть, что в пря мо уголь ной сис те ме ко ор ди нат эти два
ти па век то ров совпадают.
5) Связь ме ж ду ко ва ри ант ны ми и контр ва ри ант ны ми ком по нен та -
ми век то ра
Раз ло же ние век то ра
r
A
по ком по нен там (17) и (18) ум но жим ска -
ляр но на
e
i
и
e
i
со от вет ст вен но:
r
r r r
Ae A e e
i
k
k i
= ( )
(19)
r
r r r
Ae A e e
i
k
k i
= ( )
(20)
Вве дем обо зна че ния:
r r
e e g g
k i ik ki
= =
(21)
27
       В новой системе координат:
                  r r        3
                 (a1 ;a2 ) = å(a km b1m )(a km b2m ) = g ml (b1m ; b2m ),
                                k =1

                        3
где матрица: g ml = åa km a kl совпадает с введенной ранее (16).
                       k =1
                                                              ~$  ~$
         Формула (16) на языке матриц означает: G$ = A × A$ , где A — транс-
понированная матрица A.          $
         Величина g ml играет центральную роль в современной геометрии
и ее смысл будет выrяснен несколько позже (раздел 3.2.4)
   r Итак, вектор A можно разложить как по векторам основного бази-
са e k :
         r       r        r         r     3     r         r
         A = A 1 e1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 = å A k e k = A k e k           (17)
                                       k =1

так и по векторам взаимного базиса:
       r     r        r        r     3    r        r
      A = A1 e 1 + A2 e 2 + A3 e 3 = å Ak e k = Ak e k                      (18)
                                        k =1

      Прямое преобразование ковариантных компонент выполняется
при помощи коэффициентов a ki ¢ прямого преобразования ( A)¢ = a ki ¢ Ak ,
а контрвариантных компонент — при помощи коэффициентов a ik¢ об-
ратного преобразования ( A i )¢ = a ik¢ A k .
      Обратные формулы: Ai = a ki ¢ ( Ak )¢; A i = a ik ¢ ( A k )¢ .
      Нетрудно видеть, что в прямоугольной системе координат эти два
типа векторов совпадают.

      5) Связь между ковариантными и контрвариантными компонента-
ми вектора                    r
      Разложение вектора A по компонентам (17) и (18) умножим ска-
лярно на e i и e i соответственно:
      rr          r r
      Ae i = A k (e k e i )                                   (19)
      rr i         r r
      Ae = Ak (e k e i )                                      (20)
       Введем обозначения:
       r r
       e k e i = g ik = g ki                                                (21)

                                                                             27

Страницы