Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

r r
e e g g
k i ik ki
= =
(22)
r r
e e g
i k
i k
k
i i
k
i
k
= º =
¹
=
ì
í
î
d
0
1
( )
( )
(23)
То гда (19) и (20) при мут вид:
A g A
i ik
k
=
(24)
A g A
i ik
k
=
(25)
что и да ет связь ме ж ду ко ва ри ант ны ми и контр ва ри ант ны ми ком по нен -
та ми век то ра. Де вять ве ли чин:
g g g
ik
ik
i
k
( )и
со став ля ют тен зор вто ро го
ран га из вест ный как фун да мен таль ный мет ри че ский тен зор.
Свой ст ва фун да мен таль но го мет ри че ско го тен зо ра
а) Рас смот рим квад рат дли ны ду ги
Ds
ме ж ду дву мя близ ки ми точ -
ка ми
x
i
и
x x
i i
+ D
в сис те ме с ба зи сом (
r
e
1
,
r
e
2
,
r
e
3
):
| |
D D D D D D D D D Ds r r r e x e x e x e x e x e x
i
i
k
k
i
i k
k
i
i
k
k
2
2
= = = = =
r r r
или:
D D Ds g x x
ik
i k2
=
D D Ds g x x
ik
i k
2
=
D D Ds x x
i
i2
=
,
где
Dx
i
— ко ва ри ант ный, а
Dx
i
— контр ва ри ант ный ком по нен ты век то -
ра
D
r
r
. Го во рят, что ве ли чи на
g g
ik
ik
( )или
оп ре де ля ет мет ри ку про стран -
ст ва.
б) Оп ре де лим связь ме ж ду
g
ik
и
g
ik
.
Фор му ла (25) — это сис те ма трех ли ней ных урав не ний от но си -
тель но
A A A
1 2 3
, ,
. Ре ше ние этой системы:
A
G A
G
G A
G
i
ik
k
k
ik
k
= º
=
å
1
3
(26)
28
       r r
       e k e i = g ik = g ki                                                              (22)
       r r                     ì0 (i ¹ k)
       e k e i = g ik º d ki = í                                                          (23)
                               î1 (i = k)
       Тогда (19) и (20) примут вид:
       Ai = g ik A k                                                                      (24)
       A i = g ik Ak                                                                      (25)
что и дает связь между ковариантными и контрвариантными компонен-
тами вектора. Девять величин: g ik ( g ik и g ik ) составляют тензор второго
ранга известный как фундаментальный метрический тензор.

     Свойства фундаментального метрического тензора
     а) Рассмотрим квадрат длины дуги Ds между двумя близкими точ-
                                           r r r
ками x i и x i + Dx i в системе с базисом (e1 ,e 2 ,e 3 ):
                r2     r r
       Ds 2 = |Dr | = Dr Dr = e i Dx i e k Dx k = e i Dx i e k Dx k = e i Dx i e k Dx k

или:

                                             Ds 2 = g ik Dx i Dx k

                                             Ds 2 = g ik Dx i Dx k

                                              Ds 2 = Dx i Dx i ,

где Dx i — ковариантный, а Dx i — контрвариантный компоненты векто-
     r
ра Dr . Говорят, что величина g ik (или g ik ) определяет метрику простран-
ства.
       б) Определим связь между g ik и g ik .
       Формула (25) — это система трех линейных уравнений относи-
тельно A 1 , A 2 , A 3 . Решение этой системы:
               3
                     ik
              åG
              k =1
                          Ak
                                   G ik Ak
       Ai =                    º                                                          (26)
                     G               G
28

Страницы