Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где
G g
g g g
g g g
g g g
ik
= =det
11
11
12
12
13
13
21
21
22
22
23
23
31
31
32
32
33
33
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
(27)
G
ik
— ал геб раи че ское до пол не ние, со от вет ст вую щее чле ну
g
ik
де -
тер ми нан та
G
:
G
g g
g g
11
22
22
23
23
32
32
33
33
=
½
½
½
½
½
½
;
G
g g
g g
12
21
21
23
23
31
31
33
33
=
½
½
½
½
½
½
;
G
g g
g g
13
21
21
22
22
31
31
32
32
=
½
½
½
½
½
½
Срав ни вая (26) с (25), по лу чим:
g
G
G
ik
ik
=
.
Ана ло гич но:
g
G
G
ik
ik
=
¢
, где
G g
ik
¢= det
.
С дру гой сто ро ны:
g e e
V
e e e e
V
e e e e
e e e e
ik i k
p r s t
p s p t
p t r s
= = ´ ´ =
½
½
½
½
1 1
2 2
( )( )
½
½
=
½
½
½
½
½
½
1
2
V
g g
g g
ps pt
rs rt
.
То есть
G V=
2
, от ку да
V G= ±
.
Ана ло гич но:
V G¢= ± ¢
.
Так как
V V ¢=1;
то
GG¢=1
.
Та ким об ра зом, объ ем па рал ле ле пи пе да, по стро ен но го на век то -
рах ос нов но го ба зи са ра вен
G
, а на век то рах вза им но го ба зи са ра вен
G¢
.
в) рас смот рим слу чай ор то го наль ных ба зи сов:
В этом слу чае, со глас но (23), от лич ны от ну ля толь ко g
11
, g
22
, g
33
.
То гда из (24) и (25) сле ду ет:
A g A
1 11
1
=
;
A g A
1 11
1
=
;
A g A
1 11
1
=
;
A g A
1 11
1
=
;
A g A
2 22
2
=
;
A g A
3 33
3
=
Сле до ва тель но:
g
g
11
11
1
=
;
g
g
22
22
1
=
;
g
g
33
33
1
=
29
где
                             11      12           13
                          ½g11     g12          g13  ½
       G = det g ik      =½g 21
                             21      22
                                   g 22           23½
                                                g 23                                                            (27)
                          ½ 31         32         33
                                                     ½
                          ½g 31    g   32       g 33 ½
     G ik — алгебраическое дополнение, соответствующее члену g ik де-
терминанта G:
                       ½g 22          23
                                    g 23          21
                                         ½ 12 ½g 21                  23
                                                                   g 23          21
                                                                        ½ 13 ½g 21            22
                                                                                            g 22 ½
                 G 11 =½ 22
                          32          33
                                         ½; G =½  31                 33
                                                                        ½; G =½  31           32
                                                                                                 ½
                       ½g 32        g 33 ½     ½g 31               g 33 ½     ½g 31         g 32½

                                                                        G ik
       Сравнивая (26) с (25), получим: g ik =                                .
                                                                         G
                       G ik
       Аналогично: g ik =   , где G ¢ = det g ik .
                         G¢
       С другой стороны:
                          1                             1 ½e p e s               e p e t½ 1 ½g ps      g pt½
      g ik = e i e k =       (e p ´ e r )(e s ´ e t ) = 2 ½                              ½= ½              ½.
                         V 2
                                                       V ½e p e t                e r e s ½ V 2 ½g rs   g rt½

      То есть G = V 2 , откуда V = ± G .
      Аналогично: V ¢ = ± G ¢.
      Так как V V ¢ =1; то GG¢ =1.
      Таким образом, объем параллелепипеда, построенного на векто-
рах основного базиса равен G , а на векторах взаимного базиса равен
 G¢.

       в) рассмотрим случай ортогональных базисов:
       В этом случае, согласно (23), отличны от нуля только g11, g22, g33.
       Тогда из (24) и (25) следует:
                             A1 = g11 A 1 ; A1 = g11 A 1 ; A1 = g11 A 1 ;

                             A 1 = g 11 A1 ; A 2 = g 22 A2 ; A 3 = g 33 A3

       Следовательно:
                                            1                    1            1
                                  g11 =         11
                                                     ; g 22 =     22
                                                                     ; g 33 = 33
                                            g                   g            g

                                                                                                                 29

Страницы