Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

D D D Ds g x g x g x
2
11
1 2
22
2 2
33
3 2
= + +( ) ( ) ( )
.
г) Ком по нен ты
g
ml
мат ри цы G при пе ре хо де к но вым ко ор ди на там
пре об ра зу ют ся по пра ви лу:
g
x
x
h
x
x
ij
k
j
kl
l
i
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
;
в мат рич ной фор ме:
G AHA=
~
(28)
На бор чи сел
g
ij
, удов ле тво ряю щих пре об ра зо ва нию (28) на зы ва -
ет ся квад ра тич ной фор мой на век то рах.
Ес ли в точ ке P за да на квад ра тич ная фор ма
g
ij
, пре об ра зую щая ся
при за ме не ко ор ди нат по за ко ну (28), то на ка са тель ных век то рах в точ -
ке P мож но оп ре де лить квад ра тич ную функ цию:
{ , }x x g x x
ij
i
j
=
и би ли -
ней ную функ цию:
{ , }x y g x y
ij
i
j
=
.
Оп ре де лен ные та ким об ра зом функ ции не за ви сят от вы бо ра сис -
те мы ко ор ди нат, то есть яв ля ют ся ин ва ри ан та ми.
3.2.3 Мет ри ка про стран ст ва
1) Ос нов ные по ня тия
Дли ной ли нии на зы ва ет ся чис ло
( ) | |
l v v d t v t dt
a
b
a
b
= =
òò
, ( )
, то есть —
это ин те грал от дли ны век то ра ско ро сти.
При мер: Пусть кри вая на плос ко сти за да на как гра фик функ ции
x f t= ( )
; здесь
x t x f t
1 2
= =; ( )
. Век тор ско ро сти
v
df
dx
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
1,
. Дли на кри вой:
| |
l v dt
df
dx
dx
a
b
a
b
= = +
æ
è
ç
ö
ø
÷
òò
1
1
1
.
По ня тие дли ны ана ло гич но по ня тию мет ри ки про стран ст ва.
Ри ма но ва мет ри ка пред по ла га ет за да ние дли ны век то ра ско ро сти
в ви де:
| |
r
x g x x
ij
i
j
2
=
, то есть как квад ра тич ной функ ции от век то ра
r
x
.
Ри ма но вой мет ри кой на зы ва ет ся на бор функ ций
g g
ij ji
=
, под чи няю -
30
                     Ds 2 = g11 (Dx 1 ) 2 + g 22 (Dx 2 ) 2 + g 33 (Dx 3 ) 2 .

     г) Компоненты g ml матрицы G при переходе к новым координатам
преобразуются по правилу:

                                          æ ¶x k   ö æ ¶x l   ö
                                  g ij = çç j      ÷hkl ç i   ÷;
                                                   ÷ ç ¶x     ÷
                                          è ¶x     ø è        ø

       в матричной форме:
           ~
       G = AHA                                                                              (28)
      Набор чисел g ij , удовлетворяющих преобразованию (28) называ-
ется квадратичной формой на векторах.
      Если в точке P задана квадратичная форма g ij , преобразующаяся
при замене координат по закону (28), то на касательных векторах в точ-
ке P можно определить квадратичную функцию: { x , x } = g ij x i x j и били-
нейную функцию: { x , y } = g ij x i y j .
     Определенные таким образом функции не зависят от выбора сис-
темы координат, то есть являются инвариантами.

       3.2.3 Метрика пространства

       1) Основные понятия
                                                         b                 b
       Длиной линии называется число l = ò                    ( v, v )dt = ò| v(t )|dt , то есть —
                                                         a                 a

это интеграл от длины вектора скорости.
        Пример: Пусть кривая на плоскости задана как график функции
                                                              æ df ö
x = f (t ); здесь x 1 = t ; x 2 = f (t ). Вектор скорости v = ç 1, ÷. Длина кривой:
                                                              è dx ø
    b         b
                    æ df ö
l = ò| v|dt = ò 1 + ç 1 ÷dx 1 .
    a         a     è dx ø
         Понятие длины аналогично понятию метрики пространства.
         Риманова метрика предполагает задание длины вектора скорости
            r                                                            r
         | |
в виде: x 2 = g ij x i x j , то есть как квадратичной функции от вектора x.
Римановой метрикой называется набор функций g ij = g ji , подчиняю-

30

Страницы