Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2) Ти пы про странств
Псев до ри ма но ва мет ри ка:
g x y
ij
i
j
< 0
.
Тип мет ри ки
( , ),p q
где
p q n+ =
, n — мер ность про стран ст ва,
n p= =4 1; .
При ня то обо зна че ние про стран ст ва:
R
p q
n
,
.
а) Про стран ст во Мин ков ско го
Рас смот рим про стран ст во:
R x x x x it
1 3
4 1 2 3 0
,
:( , , , )=
с мет ри кой:
g
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
ij
i j i j i j i
=
+
+
-
1 1 2 2 3 3 0
x
z
j
0
;
g i j
g i p
g i p
ij
ij
ij
= ¹
= £
= - ³ +
ü
ý
ï
þ
ï
0
1
1 1
,
,
,
dl dx dx dx dx
2 0 2 1 2 2 2 3 2
= - - -( ) ( ) ( ) ( ) .
Про стран ст во Мин ков ско го изо бра жа ют в ви де све то во го ко ну са
(рис. 3):
Урав не ние све то во го ко ну са:
( ) ( ) ( )x x x
0 2 1 2 2 2
0- - =
. Век то ры, ле -
жа щие внут ри ко ну са, име ют по ло жи тель ный квад рат дли ны
| |
x
1
2
0>
—
32
Рис. 3. Про стран ст во Мин ков ско го
     2) Типы пространств
     Псевдориманова метрика: g ij x i y j < 0.
       Тип метрики ( p,q), где p + q = n, n — мерность пространства,
n = 4; p = 1. Принято обозначение пространства: R pn, q .

     а) Пространство Минковского
     Рассмотрим пространство:
     R14, 3 :( x 1 , x 2 , x 3 , x 0 = it ) с метрикой:

                           ¶x 1 ¶x 1 ¶x 2 ¶x 2 ¶x 3 ¶x 3 ¶x 0 ¶x 0
                  g ij =            +         +         -          ;
                           ¶z i ¶z j ¶z i ¶z j ¶z i ¶z j ¶z i ¶z j
                                      g ij = 0, i ¹ j    ü
                                                         ï
                                      g ij = 1, i £ p    ý
                                                         ï
                                      g ij = -1, i ³ p +1þ

                       dl 2 = (dx 0 ) 2 - (dx 1 ) 2 - (dx 2 ) 2 - (dx 3 ) 2 .
      Пространство Минковского изображают в виде светового конуса
(рис. 3):




                             Рис. 3. Пространство Минковского

     Уравнение светового конуса: ( x 0 ) 2 - ( x 1 ) 2 - ( x 2 ) 2 = 0. Векторы, ле-
                                                                                2
жащие внутри конуса, имеют положительный квадрат длины | x 1 | > 0 —

32

Страницы