Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В про стран ст ве
R
1 2
3
,
за да дим псев до сфе ру:
t x y R
2 2 2 2
- - =
— это
двух по ло ст ной ги пер бо ло ид в трех мер ном про стран ст ве. На ги пер бо -
лои де, где
dr = 0
име ем:
( )
- = +dl R dx dx
2 2 2 2 2
sh j
, то есть псев до сфе -
ра — это про стран ст вен но по доб ная ги пер по верх ность. Дан ная мет ри ка
называется метрикой Лобачевского.
3.2.4 Эле мен ты тен зор но го ана ли за
1) Ти пы тен зо ров
Еще раз вер нем ся к век то рам. Мы зна ем тра ди ци он ное пред став -
ле ние вектора:
r r r r
u e u e u e u= + +
1
1
2
2
3
3( ) ( ) ( )
,
или
r
u e u e u
i
i
i
i
i
= =
=
å
1
3
( ) ( )
,
u
u
u
u
i
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
1
2
3
.
Здесь
u
i
— столб цо вая мат ри ца,
( , , )
( ) ( ) ( )
u u u
1 2 3
— ком по нен ты век -
то ра.
Кро ме то го, мы вы яви ли два ти па пре об ра зо ва ния век то ров при
за ме не координат:
контр век тор:
u
z
x
u
j
j
i
i
i
=
=
¢
å
1
3
( )
, или
u u
j
i
j
i
=
¢
a
;
ко век тор:
u
x
z
u
j
i
j
i
i
=
¢
=
å
1
3
, или
u u
j j
i
i
= ¢a
.
Сле дуя дан ной схе ме со ста вим вы ра же ние:
b u v
ik
i k
ki
( ) ( )
åå
, где
u
i( )
и
v
k( )
— со став ляю щие двух контр век то ров, а
b
ik
— таб ли ца из 9 чи сел,
в от ли чие от век то ров — где бы ло 3 чис ла. Зная за кон пе ре хо да век то ров
в но вую сис те му ко ор ди нат, мы мо жем за пи сать и на ше выражение в
новой системе координат:
b u v b u v
ik
i k
ki
ik
i k
ki
( ) ( ) ( ) ( )
=
¢
¢ ¢
åå åå
.
34
        В пространстве R13, 2 зададим псевдосферу: t 2 - x 2 - y 2 = R 2 — это
двухполостной гиперболоид в трехмерном пространстве. На гипербо-
                                                             (
лоиде, где dr = 0 имеем: -dl 2 = R 2 dx 2 + sh 2 jdx 2 , то есть псевдосфе-            )
ра — это пространственноподобная гиперповерхность. Данная метрика
называется метрикой Лобачевского.

        3.2.4 Элементы тензорного анализа

     1) Типы тензоров
     Еще раз вернемся к векторам. Мы знаем традиционное представ-
ление вектора:
              r r             r             r                 r 3
              u = e1 u (1 ) + e 2 u ( 2 ) + e 3 u ( 3 ) , или u = å e i u ( i ) = e i u ( i ) ,
                                                                              i =1


                                                          æ u1       ö
                                                          ç          ÷
                                                     ui = çu2        ÷.
                                                          ç 3        ÷
                                                          çu         ÷
                                                          è          ø

        Здесь u i — столбцовая матрица, (u (1 ) ,u ( 2 ) ,u ( 3 ) ) — компоненты век-
тора.
     Кроме того, мы выявили два типа преобразования векторов при
замене координат:
                                         3
                                              ¶z j ( i ) ¢
        контрвектор: u j = å                     i
                                                   u , или u j = a ij u i ¢ ;
                                         i =1 ¶x

                                 3
                                  ¶x i
        ковектор: u j = å              u ¢ , или u j = a ij u¢ i .
                                      j i
                             i =1 ¶ z
        Следуя данной схеме составим выражение: å å bik u ( i ) v ( k ) , где u ( i )
                                                                                        i      k

и v ( k ) — составляющие двух контрвекторов, а bik — таблица из 9 чисел,
в отличие от векторов — где было 3 числа. Зная закон перехода векторов
в новую систему координат, мы можем записать и наше выражение в
новой системе координат:

                           ååb            ik   u ( i ) v ( k ) =å å bik¢ u¢ ( i ) v¢ ( k ) .
                             i       k                           i   k


34

Страницы