Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

¢
b
ik
— но вая таб ли ца 9 чи сел (ком по нент) в но вой сис те ме ко ор ди -
нат. Эти ком по нен ты мо гут быть изо бра же ны в ви де квад рат ной
матрицы:
t t t
t t t
t t t
t
ik
11 12 13
21
22 23
31
32 33
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
= ( )
.
Дан ная таб ли ца с ука за ни ем пра ви ла пре об ра зо ва ния при пе ре хо -
де в дру гую сис те му ко ор ди нат на зы ва ет ся ко ва ри ант ным тен зо ром вто -
ро го ран га.
Ана ло гич но, из вы ра же ния
b u v
ik
i k
ki
( )
åå
мож но со ста вить контр -
ва ри ант ный тен зор вто ро го ран га:
( ) ,t
t t t
t t t
t t t
ik
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
11 12 13
21 22 23
31 32 33
а так же сме шан ный
тен зор вто ро го ран га:
( )t
t t t
t t t
t t t
i
k
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
2
3
3
.
Сле ду ет от ме тить, что ука зан ные мат ри цы еще не яв ля ют ся тен -
зо ра ми, так же как ком по нен ты век то ра
( , , )
( ) ( ) ( )
u u u
1 2 3
— не яв ля ют ся
век то ра ми до ука за ния пра ви ла преобразования координат.
Та ким об ра зом, у век то ра есть 3 ком по нен ты, а ес ли мы возь мем
про из ве де ние двух ли ней но за ви си мых век то ров
r r
AB
, то из их ком по нент
мож но со ста вить 9 про из ве де ний ти па
A B
i k
, и у это го про из ве де ния бу -
дет 9 ком по нент — это и есть тен зор 2-го ран га. У дан но го тен зо ра
A B
i k
бу дет со от вет ст вую щий закон преобразования координат:
¢ ¢
=
¢ ¢
A B A B
i k i l k m l m
a a
.
Удоб но ком по нен ты тен зо ра
A
ij
за пи сы вать в ви де матрицы:
A A A
A A A
A A A
11 12 13
21
22 23
31
32 33
.
35
     bik¢ — новая таблица 9 чисел (компонент) в новой системе коорди-
нат. Эти компоненты могут быть изображены в виде квадратной
матрицы:

                                   æ t 11 t 12 t 13   ö
                                   ç                  ÷
                                   ç t 21 t 22 t 23   ÷ = (t ik ).
                                   ç                  ÷
                                   è t 31 t 32 t 33   ø

       Данная таблица с указанием правила преобразования при перехо-
де в другую систему координат называется ковариантным тензором вто-
рого ранга.
       Аналогично, из выражения å å b ( ik ) u i v k можно составить контр-
                                                i      k

                                                    æ t 11 t 12 t 13 ö
                                                    ç                 ÷
вариантный тензор второго ранга: (t ik ) = ç t 21 t 22 t 23 ÷, а также смешанный
                                                    ç 31 32 33 ÷
                                                    çt t t ÷
                                                    è                 ø
                                æ t 11 t 12 t 13 ö
                                ç                ÷
тензор второго ранга: (t ik ) = ç t 21 t 22 t 23 ÷.
                                ç                ÷
                                ç t 31 t 32 t 33 ÷
                                è                ø
       Следует отметить, что указанные матрицы еще не являются тен-
зорами, также как компоненты вектора (u (1 ) ,u ( 2 ) ,u ( 3 ) ) — не являются
векторами до указания правила преобразования координат.
       Таким образом, у вектора есть 3 компоненты,                  r r а если мы возьмем
произведение двух линейно зависимых векторов AB, то из их компонент
можно составить 9 произведений типа Ai B k , и у этого произведения бу-
дет 9 компонент — это и есть тензор 2-го ранга. У данного тензора Ai B k
будет соответствующий закон преобразования координат:

                                Ai¢ B k¢ = a i ¢l a k ¢m Al B m .

       Удобно компоненты тензора Aij записывать в виде матрицы:

                                         A11 A12 A13
                                         A21 A22 A23 .
                                         A31 A32 A33

                                                                                      35

Страницы