Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ес ли
x x z z z z x x
i i n
j j
n
= =( . .. ), ( . . . )
1 1
, то име ет ме сто фор му ла:
T T
x
z
x
z
j j
i i
l l
k k
k l
i
k
i
q
p
q
p
p
1
1
1
1
1
1
...
...
...
...
,
=
å
K
k
l
j
l
j
p
q
q
z
x
z
x
1
1
K
.
Все ин дек сы ме ня ют ся от 1 до n (n-мер ное про стран ст во).
При ме ры:
а) век тор ско ро сти — тен зор ти па (1,0) — контр век тор
x x=
å
i
i
i
e
;
б) ковек тор — тен зор ти па (0,1) — гра ди ент
x x=
å
i
i
i
e
;
в) квад ра тич ная фор ма на ко век то рах ти па (0,2)
g g e e
ij
i j
i
j
= A
å
,
;
г) квад ра тич ная фор ма на контр век то рах (2,0)
g g e e
ij
i j
i j
= A
å
,
.
Дру гая за пись тен зо ра:
T T e A Ae Ae A Ae
j j
i i
i j
i ip
j
jq
q
p
=
å
1
1
1
1
...
...
,
K K
.
Ком по нен ты тен зо ра мо гут быть ко ва ри ант ны ми A
ik
, кон ва ри ант -
ны ми A
ik
, сме шан ны ми
A A
i
k
k
i
,
:
¢
=
¢ ¢
A A
ik i
l
k
m
lm
a a
;
¢
=
¢ ¢
A A
ik
l
i
m
k lm
a a
;
¢
=
¢
¢
A A
i
k
i
l
m
k
l
m
a a
;
¢
=
¢
¢
A A
k
i
l
i
k
m
m
l
a a
.
Ком по нен ты тен зо ра в сис те ме ко ор ди нат с мет ри кой
d s g dx dx
ik
i k2
=
свя за ны сле дую щи ми формулами:
A g g A
ik il km
lm
=
;
A g g A
ik il km
lm
=
;
A g A g A
ik kl i
i
il k
l
= =
;
A g A
i
k kl
il
=
;
A g A
i
k
il
lk
=
;
A g A
k
i il
lk
=
;
A g A
k
i
kl
il
=
;
A g A g A
ik il
i
k kl
l
i
= =
.
В дан ных вы ра же ни ях идет опе ра ция под ня тия и спус ка ин дек сов
у ком по нент тен зо ров. Эта опе ра ция про из во дит ся с по мо щью мет ри че -
ско го тен зо ра
g
ik
.
37
     Если x i = x i ( z1 ... z n ), z j = z j ( x 1 ... x n ), то имеет место формула:
                                                                      i1            ip            l             l
                         i ... i                     k ... k p   ¶x            ¶x            ¶z 1          ¶z q
                     T j 11... j qp = åT l1 ...1 lq                        K                           K                .
                                                                 ¶z k 1             kp            j1            jq
                                          k, l                                 ¶z            ¶x            ¶x
     Все индексы меняются от 1 до n (n-мерное пространство).

     Примеры:
     а) вектор скорости — тензор типа (1,0) — контрвектор x = åx i e i ;
                                                                                                                                          i

     б) ковектор — тензор типа (0,1) — градиент x = åx i e i ;
                                                                                                                    i

     в) квадратичная форма на ковекторах типа (0,2) g = å g ij e i Ae j ;
                                                                                                                                   i, j

     г) квадратичная форма на контрвекторах (2,0) g = å g ij e i Ae j .
                                                                                                                            i, j

     Другая запись тензора:
                                                 i ... i                                 j
                         T = åT j 11... j qp e i 1 AK Ae ip Ae 1 AK Ae jq .
                                   i, j


     Компоненты тензора могут быть ковариантными Aik , конвариант-
ными Aik , смешанными Aik , Aki :
     Aik¢ = a li ¢a mk ¢ Alm ; A ¢ ik = a il ¢a km¢ A lm ;
     Ai¢ k = a li ¢a km¢ Alm ; Ak¢ i = a il ¢a mk ¢ Aml .
       Ком по нен ты тен зо ра в сис те ме ко ор ди нат с мет ри кой
ds 2 = g ik dx i dx k связаны следующими формулами:
     A ik = g il g km Alm ; Aik = g il g km A lm ;
     Aik = g kl Aii = g il Akl ;
     Aik = g kl Ail ; Aik = g il A lk ;
     Aki = g il Alk ; Aki = g kl A il ;
     A ik = g il Aik = g kl Ali .
      В данных выражениях идет операция поднятия и спуска индексов
у компонент тензоров. Эта операция производится с помощью метриче-
ского тензора g ik .

                                                                                                                                              37

Страницы