Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

На при мер, тен зор 2-го ран га
t
i
k
при сов па де нии ин дек сов сво ра -
чи ва ет ся в ска ляр:
t t t t
k
k
k
n
n
n
å
= + + +
1
1
2
2
L
.
Эта сум ма ком по нент глав ной диа го на ли, то есть шпур (след) мат -
ри цы.
Свер ты ва ни ем на зы ва ют сум ми ро ва ние ком по нент тен зо ра по
двум ин дек сам. По это му свер ты ва ние мож но про во дить над тен зо ра ми,
ранг которых не менее двух.
Пусть
A
ikl
— тен зор 3-го ран га. Про из ве дем свер ты ва ние по ин -
дек сам i и k , т.е. возь мем толь ко те его ком по нен ты, у ко то рых ин дек сы
i и k рав ны, со ста вим из них суммы:
A A A A A
iil iil
i
l
l l
= = + +
=
å
1
3
11
22 33
.
По дру гим ин дек сам по лу чим сум мы
A
ikk
,
A
ill
. Та ких сумм ка ж до го
ви да бу дет три. Лю бая та кая груп па из трех сумм об ра зу ет тен зор 1-го
ран га, то есть век тор. Та ким об ра зом при свер ты ва нии по двум ин дек -
сам тен зо ра ран га p по лу ча ет ся тен зор ран га
p -2
.
Опе ра цию свер ты ва ния мож но при ме нять к тен зо ру не сколь ко
раз.
Тен зор чет но го ран га мо жет быть свер нут до ска ля ра, а тен зор не -
чет но го ран га — толь ко до вектора.
Ум но же ние тен зо ров с по сле дую щим свер ты ва ни ем по ин дек сам,
от но ся щим ся к раз лич ным мно жи те лям, на зы ва ет ся ска ляр ным «внут -
рен ним» произведением тензоров.
При свер ты ва нии тен зо ров, свер ты ва ние мо жет про из во дить ся
толь ко по па рам раз но имен ных ин дек сов, т.е. один свер ты вае мый ин -
декс дол жен быть ко ва ри ант ным, а дру гой обя за тель но контр ва ри ант -
ным. Это сле ду ет из тре бо ва ния, что бы ре зуль тат свер ты ва ния тензора
должен оставаться тензором.
д) Под ня тие и опус ка ние ин дек сов
В при сут ст вии мат ри цы
g
ij
мож но оп ре де лить опе ра цию опус ка -
ния индексов:
T g T
i j j
i i
i k
j j
ki i
q
p
q
p
1 1
2
1
1
2
...
...
...
...
=
,
39
     Например, тензор 2-го ранга t ik при совпадении индексов свора-
чивается в скаляр:
                           n
                                    k
                          åt        k     = t 11 + t 22 +L + t nn .
                           k


       Эта сумма компонент главной диагонали, то есть шпур (след) мат-
рицы.
       Свертыванием называют суммирование компонент тензора по
двум индексам. Поэтому свертывание можно проводить над тензорами,
ранг которых не менее двух.
       Пусть Aikl — тензор 3-го ранга. Произведем свертывание по ин-
дексам i и k , т.е. возьмем только те его компоненты, у которых индексы
i и k равны, составим из них суммы:
                                3
                     Aiil = å Aiil = A11 l + A22 l + A33 l .
                               i =1


      По другим индексам получим суммы Aikk , Aill . Таких сумм каждого
вида будет три. Любая такая группа из трех сумм образует тензор 1-го
ранга, то есть вектор. Таким образом при свертывании по двум индек-
сам тензора ранга p получается тензор ранга p -2.
      Операцию свертывания можно применять к тензору несколько
раз.
      Тензор четного ранга может быть свернут до скаляра, а тензор не-
четного ранга — только до вектора.
      Умножение тензоров с последующим свертыванием по индексам,
относящимся к различным множителям, называется скалярным «внут-
ренним» произведением тензоров.
      При свертывании тензоров, свертывание может производиться
только по парам разноименных индексов, т.е. один свертываемый ин-
декс должен быть ковариантным, а другой обязательно контрвариант-
ным. Это следует из требования, чтобы результат свертывания тензора
должен оставаться тензором.

     д) Поднятие и опускание индексов
     В присутствии матрицы g ij можно определить операцию опуска-
ния индексов:
                                i ... i                    ki ... i
                          T i 12j 1 ...p j q = g i 1 kT j 1 ...2 j q p ,

                                                                           39

Страницы