Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3) Опе ра ции над тен зо ра ми
а) Пе ре ста нов ка ин дек са
Тен зор на зы ва ют сим мет рич ным, ес ли
t t
ik ki
=
или
t t
ik ki
=
и ан ти -
сим мет рич ным, ес ли
t t
ik ki
= -
или
t t
ik ki
= -
. Эти свой ст ва не из ме ня ют ся
при пре об ра зо ва нии ко ор ди нат. Та ким об ра зом
t t
ik ki
= e
, где
e = ±1
.
Сме шан ный тен зор
t
i
k
не мо жет быть сим мет рич ным или ан ти -
сим мет рич ным.
Дан ное пра ви ло обоб ща ет ся на слу чай тен зо ров лю бо го ран га:
знак оп ре де ля ет ся чет но стью пе ре ста нов ки индекса;
б) Сло же ние тен зо ров
Скла ды вать мож но толь ко тен зо ры имею щие оди на ко вый ранг и
оди на ко вую ва ри ант ность:
t r s
m
ik
m
ik
m
ik
= +
.
в) Ум но же ние тен зо ров
Про из ве де ни ем тен зо ра 3-го ран га
r
m
ik
на тен зор 2-го ран га
s
n
j
яв -
ля ет ся тен зор 5-го ран га
P
mn
ikj
:
P r s
mn
ikj
m
ik
n
j
=
.
Про из ве де ние за ви сит от по ряд ка со мно жи те лей:
C A B
iklm ik lm
=
.
Тен зор
C
iklm
на зы ва ют про из ве де ни ем тен зо ров
A
ik
и
B
ik
, а опе ра -
ция об ра зо ва ния его ком по нент — тен зор ным (внеш ним) ум но же ни ем
этих тензоров.
C A B C A B
iklm ik lm lmik lm ik
= ¹ =
,
т.е. тен зор ное ум но же ние не ком му та тив но.
Ранг про из ве де ния тен зо ров ра вен сум ме ран гов со мно жи те лей.
г) Cвертка (след) тен зо ров
Ес ли у тен зо ра ко ва ри ант ный ин декс ра вен контр ва ри ант но му то
по это му ин дек су мож но про сум ми ро вать и умень шить чис ло ин дек сов
на 2 (свернуть):
t t
i
ik k
=
.
38
      3) Операции над тензорами

      а) Перестановка индекса
      Тензор называют симметричным, если t ik = t ki или t ik = t ki и анти-
симметричным, если t ik = -t ki или t ik = -t ki . Эти свойства не изменяются
при преобразовании координат. Таким образом t ik = et ki , где e = ±1.
      Смешанный тензор t ik не может быть симметричным или анти-
симметричным.
      Данное правило обобщается на случай тензоров любого ранга:
знак определяется четностью перестановки индекса;

     б) Сложение тензоров
     Складывать можно только тензоры имеющие одинаковый ранг и
одинаковую вариантность:

                                 t mik = rmik + s mik .

      в) Умножение тензоров
      Произведением тензора 3-го ранга rmik на тензор 2-го ранга s nj яв-
ляется тензор 5-го ранга Pmnikj :

                                  Pmnikj = rmik s nj .

      Произведение зависит от порядка сомножителей:

                                 C iklm = Aik B lm .
      Тензор C iklm называют произведением тензоров Aik и B ik , а опера-
ция образования его компонент — тензорным (внешним) умножением
этих тензоров.

                       C iklm = Aik B lm ¹ C lmik = Alm B ik ,
т.е. тензорное умножение некоммутативно.
       Ранг произведения тензоров равен сумме рангов сомножителей.

       г) Cвертка (след) тензоров
       Если у тензора ковариантный индекс равен контрвариантному то
по этому индексу можно просуммировать и уменьшить число индексов
на 2 (свернуть): t iik = t k .

38

Страницы