ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
то есть , ес ли
T
j j
i i
q
p
1
1
...
...
— тен зор ти па
( , )p q
, то мож но по стро ить тен зор
T
i j j
i i
q
p
1 1
2
...
...
ти па
( , )p q- +1 1
здесь идёт сум ми ро ва ние по k.
При ме ры:
а) для век то ра
x
i
:
x x
i ij
j
g=
, то есть по сле спус ка ния ин дек са мы
по лу ча ем ко век тор.
б)
A g A
i
ij
k
=
;
A g A
i ik
k
=
;
в)
A g A g g A g g g A
ikl im kl
m
im kn l
mn
im kn lr
mnr
= = =
.
Ино гда го во рят об опе ра ции пе ре име но ва ния индекса:
A g A
ik i
l
lk
=
.
Для под ня тия ниж них ин дек сов при на ли чии мет ри ки
g
ij
, не об хо -
ди мо рас смот реть об рат ную мат ри цу
( )g g
ij
jk k
i
= d
:
T g T
j j
j i i
j k
kj j
i i
q
p
q
p
2
1
2
1
2
1
...
...
...
...
=
Ес ли мы опус тим ин декс, а по том под ни мем, то по лу чим ис ход -
ный тензор.
е) Тен зо ры и про стран ст во
Фи зи че ские яв ле ния не мо гут за висеть от сис те мы ко ор ди нат. Это
свя за но с фун да мен таль ны ми свой ст ва ми про стран ст ва — од но род но -
стью и изо троп но стью, что является опытным фактом.
Та ким об ра зом за кон пре об ра зо ва ния ком по нент (чи сел, оп ре де -
ляю щих фи зи че ский объ ект) при из ме не нии про стран ст вен ной сис те -
мы ко ор ди нат дол жен обес пе чи вать не за ви си мость фи зи че ских объ ек -
тов от вы бо ра сис те мы ко ор ди нат.
С этой точ ки зре ния, за кон пре об ра зо ва ния ком по нент по зво ля ет
объ е ди нить фи зи че ский объ ект в еди ное по ня тие тен зо ров. Ска ля ры и
век то ры яв ля ют ся лишь частными случаями тензоров.
За ко ны пре об ра зо ва ния ком по нент для раз лич ных объ ек тов раз -
лич ны и оп ре де ля ют ся свой ст ва ми этих объ ек тов, это при во дит к по яв -
ле нию тензоров различных рангов:
•
тен зор 0 ран га — это ска ляр:
j j¢=
;
•
тен зор 1 ран га — это век тор:
A A
i i l l
¢ =
¢
a
(ли ней ная фор ма);
•
тен зор 2 ран га:
A A
ik i l k m lm
¢ =
¢ ¢
a a
(квад ра тич ная фор ма);
•
тен зор n-го ран га:
A A
ikl i p k r l s prs
¢ =
¢ ¢ ¢... ...
...a a a
;
A
ikl...
— ком по нен ты
тен зо ра.
40
i ... i
то есть , если T j 11... j qp — тензор типа ( p,q), то можно построить тензор
i ... i
T i 12j 1 ...p j q типа ( p -1,q +1) здесь идёт суммирование по k.
Примеры:
а) для вектора x i : x i = g ij x j , то есть после спускания индекса мы
получаем ковектор.
б) Ai = g ij Ak ; Ai = g ik A k ;
в) Aikl = g im Aklm = g im g kn Almn = g im g kn g lr A mnr .
Иногда говорят об операции переименования индекса:
Aik = g il Alk .
Для поднятия нижних индексов при наличии метрики g ij , необхо-
димо рассмотреть обратную матрицу ( g ij g jk = d ik ):
j i ... i p i ... i
T j 21... 2j q = g j 1 kT kj 21 ... jpq
Если мы опустим индекс, а потом поднимем, то получим исход-
ный тензор.
е) Тензоры и пространство
Физические явления не могут зависеть от системы координат. Это
связано с фундаментальными свойствами пространства — однородно-
стью и изотропностью, что является опытным фактом.
Таким образом закон преобразования компонент (чисел, опреде-
ляющих физический объект) при изменении пространственной систе-
мы координат должен обеспечивать независимость физических объек-
тов от выбора системы координат.
С этой точки зрения, закон преобразования компонент позволяет
объединить физический объект в единое понятие тензоров. Скаляры и
векторы являются лишь частными случаями тензоров.
Законы преобразования компонент для различных объектов раз-
личны и определяются свойствами этих объектов, это приводит к появ-
лению тензоров различных рангов:
• тензор 0 ранга — это скаляр: j¢ = j;
• тензор 1 ранга — это вектор: A¢ i = a i ¢l Al (линейная форма);
• тензор 2 ранга: A¢ ik = a i ¢l a k ¢m Alm (квадратичная форма);
• тензор n-го ранга: A¢ ikl... = a i ¢ p a k ¢r a l ¢s ... A prs ... ; Aikl... — компоненты
тензора.
40
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
