ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
При мер:
r r r
A B C, ,
— век то ры.
D A B C
ikl i k l
=
— тен зор 3-го ран га (
3 27
3
=
ком по нент).
За кон пре об ра зо ва ния тен зо ров при из ме не нии сис тем ко ор ди нат
свя зан с по ня ти ем ин ва ри ант но сти урав не ний, т.е. не из ме няе мо сти при
пе ре хо де от од ной сис те мы ко ор ди нат к дру гой. Ес ли но вое урав не ние
име ет та кой же вид в но вых ко ор ди на тах, как и пер во на чаль ное урав не -
ние в ста рых ко ор ди на тах, то та кое урав не ние на зы ва ют ин ва ри ант ным.
Ин ва ри ант ность урав не ний, опи сы ваю щих фи зи че ский за кон,
яв ля ет ся их не пре мен ным свой ст вом вслед ст вие од но род но сти и изо -
троп но сти про стран ст ва.
Для ин ва ри ант но сти урав не ний не об хо ди мо, что бы все тен зо ры,
ко то рые вхо дят в ви де сла гае мых в эти урав не ния, бы ли тен зо ра ми од -
но го ран га.
4) Тен зор ное ис чис ле ние ко ва ри ант но го (аб со лют но го) диф фе -
рен ци ро ва ния
Ко ва ри ант ная про из вод ная век то ра
а) В де кар то вой сис те ме ко ор ди нат диф фе рен ци ал век то ра ра вен:
dA d A e e dA
i i i i
r r
r r
r
= =( )
;
Вто рое сла гае мое
r
r
A de
i i
= 0
, так как в де кар то вой сис те ме ко ор ди -
нат век тор ный ба зис оди на ков для всех то чек про стран ст ва, по это му:
de
i
r
= 0
.
В об щем слу чае ба зис
( )
r r r
e e e
1
2 3
яв ля ет ся ло каль ным и ме ня ет ся от
точ ки к точ ке, по это му:
dA d A e e dA A de
dA d A e e dA
i
i i
i i
i
i
i i
i
r r
r r
r r
r
r r
r r
r
= = +
= =
( )
( ) +
r
r
A de
i
i
Так как
dA
A
x
dx
k
k
r
r
=
¶
¶
,
то
¶
¶
=
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
+
¶
¶
r
r
r
r
r
r
r
r
A
x
A
x
e A
e
x
A
x
e A
e
x
k
i
k
i
i
i
k
i
k
i
i
i
k
б) Ком по нен ты (ко- или контр ва ри ант ные) этих век то ров
¶
¶
r
A
x
k
об -
ра зу ют 9 ве ли чин, со во куп ность ко то рых на зы ва ют аб со лют ной (ко ва -
ри ант ной) про из вод ной век то ра (ко- или контр-). Для них вве дём обо -
зна че ние:
41
r r r
Пример: A, B,C — векторы. D ikl = Ai B k C l — тензор 3-го ранга (3 3 = 27
компонент).
Закон преобразования тензоров при изменении систем координат
связан с понятием инвариантности уравнений, т.е. неизменяемости при
переходе от одной системы координат к другой. Если новое уравнение
имеет такой же вид в новых координатах, как и первоначальное уравне-
ние в старых координатах, то такое уравнение называют инвариантным.
Инвариантность уравнений, описывающих физический закон,
является их непременным свойством вследствие однородности и изо-
тропности пространства.
Для инвариантности уравнений необходимо, чтобы все тензоры,
которые входят в виде слагаемых в эти уравнения, были тензорами од-
ного ранга.
4) Тензорное исчисление ковариантного (абсолютного) диффе-
ренцирования
Ковариантная производная вектора
а) В декартовой системе координат дифференциал вектора равен:
r r r r r
dA = d( Ai e i ) = e i dAi ;
r r
Второе слагаемое Ai de i = 0, так как в декартовой системе коорди-
нат
r векторный базис одинаков для всех точек пространства, поэтому:
de i = 0. r r r
В общем случае базис (e1 e 2 e 3 ) является локальным и меняется от
точки к точке, поэтому:
r r r r r r r
dA = d( Ai e i ) = e i dAi + Ai de i
r r r r r r r
dA = d( A i e i ) = e i dA i + A i de i
r
r ¶A
Так как dA = k dx k , то
¶x
r r r
¶A ¶A i i r ¶e i ¶A i r
r r i ¶er
i
= e + A i = e i + A
¶x k ¶x k ¶x k ¶x k ¶x k
r
¶A
б) Компоненты (ко- или контрвариантные) этих векторов k об-
¶x
разуют 9 величин, совокупность которых называют абсолютной (кова-
риантной) производной вектора (ко- или контр-). Для них введём обо-
значение:
41
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
