Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ба зи са. ( В де кар то вой сис те ме ко ор ди нат сим во лы Кри стоф фе ля 2
го
ро -
да рав ны ну лю). Та ким об ра зом сим во лы Кри стоф фе ля от ра жа ют мет -
ри ку про стран ст ва и, следовательно, могут быть выражены через
метрический тензор.
За ме тим, что из (32) сле ду ет:
e
e
x
i jk
i
j
k
G =
(34)
То есть
G
jk
i
яв ля ет ся ко эф фи ци ен том раз ло же ния век то ров
e
x
j
k
по
век то рам ос нов но го ба зи са. В этой свя зи вве дём ве ли чи ны, яв ляю щие ся
ко эф фи ци ен та ми раз ло же ния век то ров
e
x
j
k
по векторам взаимного
базиса:
e
e
x
i
i jK
j
K
G
,
=
(35)
G
i jK,
— на зы ва ют ся сим во ла ми Кри стоф фе ля 1-го ро да.
То гда из (34) и (35)сле ду ет:
G
i jk i
j
k
e
e
x
,
= ×
G G G G
i jk ie jk
e
jk
i ie
e jk
g g
, ,
;= =
Сим во лы Кри стоф фе ля сим мет рич ны по двум ниж ним ин дек сам:
G G G G
i jk i kj jk
i
kj
i
, ,
;= =
, так как
=
=
=
r
r r
r
e
x x
r
x x
r
x
e
x
j
k k j j k
k
j
.
Та ким об ра зом:
G
i jk i
j
k
i
j
k
i
k
j
k
e
e
x
e
e
x
e
e
x
x
,
=
=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
1
2
1
2
( ) ( )
r r r r r r
r
e e
x
e e e
e
x
e
e
x
i j
j
i k j
i
k
k
i
k
× +
× - ×
- ×
é
ë
ê
ù
û
ú
=
=
+
- ×
- ×
é
ë
ê
ê
ù
û
1
2
g
x
g
x
e
e
x
e
e
x
ij
k
ik
j
j
k
i
k
j
i
r
r
r
ú
ú
=
=
+
-
×
é
ë
ê
ù
û
ú
=
1
2
1
2
g
x
g
x
x
e e
g
x
ij
k
ik
j i
k j
ij
( )
r r
k
ik
j
ki
i
g
x
g
x
+
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
43
базиса. ( В декартовой системе координат символы Кристоффеля 2го ро-
да равны нулю). Таким образом символы Кристоффеля отражают мет-
рику пространства и, следовательно, могут быть выражены через
метрический тензор.
      Заметим, что из (32) следует:
                  ¶e j
      e i G ijk = k                                                       (34)
                  ¶x
                                                                       ¶e j
      То есть G ijk является коэффициентом разложения векторов k по
                                                                       ¶x
векторам основного базиса. В этой связи введём величины, являющиеся
                                                  ¶e j
коэффициентами разложения векторов                     по векторам взаимного
                                                  ¶x k
базиса:
                     ¶e j
      e i Gi , jK = K                                                     (35)
                     ¶x
      Gi , jK — называются символами Кристоффеля 1-го рода.
      Тогда из (34) и (35)следует:
                      ¶e j
      Gi , jk = e i × k
                      ¶x
      Gi , jk = g ie G ejk ; G ijk = g ie Ge , jk
      Символы Кристоффеля симмет                   r ричны поr двум нижrним ин дексам:
                                                                             r
                                                 ¶ e j   ¶  ¶ r   ¶   ¶ r  ¶ e
      Gi , jk = Gi , kj ; G ijk = Gkji , так как       =        =         = k.
                                                 ¶x k ¶x k ¶x j ¶x j ¶x k ¶x j
      Таким образом:

                          ¶e j
                            1 æ ¶e j         ¶e ö
          Gi , jk = e i    = ç e i k + e i kj ÷ =
                      ¶x     kç
                            2 è ¶x          ¶x ÷ø
                                                                        r
                  1é ¶ r r             ¶ r r           r ¶e       r ¶e ù
                 = ê k (e i × e j ) + j (e i × e k ) - e j × ik - e k × ik ú =
                  2 ë¶x               ¶x                    ¶x         ¶x û
                                          r            r
                  1 é ¶g ij ¶g           ¶e    r ¶e j ù
                 = ê k + ikj - e j × ki - e k × i ú =
                  2 êë¶x    ¶x           ¶x          ¶x úû
                  1 é ¶g ij ¶g        ¶ r r ù 1 æ ¶g ij ¶g                ¶g ö
                 = ê k + ikj - i (e k × e j )ú = ç k + ikj - kii ÷
                  2 ë¶x                                   ç               ¶x ÷ø
                            ¶x       ¶x            û 2 è ¶x       ¶x

                                                                                   43

Страницы