Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

G G G
jk
i ie
e jk kj
i
g= =
,
.
В об щем слу чае сим во лы Кри стоф фе ля не яв ля ют ся тен зо ра ми
(толь ко в ча ст ном случае).
Из оп ре де ле ния ко ва ри ант ной про из вод ной (29) и (30), учи ты вая,
что
e g e
i ie
e
=
, следует:
A g A
i k ie k
e
; ;
=
;
A g A
k
i ie
e k; ;
=
.
Та ким об ра зом и
A
i k;
и
A
k
i
;
яв ля ют ся ком по нен та ми од но го и то го
же тен зо ра, ко то рый и на зы ва ет ся аб со лют ной (ко ва ри ант ной)
производной вектора.
2) Ко ва ри ант ная про из вод ная тен зо ра.
а) Обоб щим фор му лы ко ва ри ант ной про из вод ной век то ра на по -
ня тие ко ва ри ант ной про из вод ной тен зо ра 2
го
ранга:
Т
Т
x
Т Т
Т
Т
x
Т
ik l
ik
l
mk il
m
im kl
m
l
ik
ik
l
mk
ml
i
;
;
=
- -
=
-
G G
G -
=
+ -
Т
Т
Т
x
Т Т
im
ml
k
k l
i
k
i
l
k
m
ml
i
m
i
kl
m
G
G G
;
Эти объ ек ты пре об ра зу ют ся при из ме не нии сис те мы ко ор ди нат
как со от вет ст вен но го ком по нен ты тензора 3-го ранга.
Ана ло гич но оп ре де ля ют ся ко ва ри ант ные про из вод ные тен зо ра
любого ранга.
Ко ва ри ант ная про из вод ная от тен зо ра n-го ран га яв ля ет ся тен зо -
ром ран га
( )n +1
.
Ко ва ри ант ная про из вод ная тен зо ра ну ле во го ран га (ска ля ра) сов -
па да ет с чёт ной про из вод ной по координате:
f
f
x
i
i
;
=
.
То есть яв ля ет ся ко ва ри ант ным век то ром (ти па grad).
Пра ви ла диф фе рен ци ро ва ния сум мы и про из ве де ния:
( )
( )
; ; ;
;
A B A B
A B A B A B
ik ik l ik l ik l
ik mn ik l mn ik mn
+ = +
× = × + ×
;l
44
                                G ijk = g ie Ge , jk = Gkji .

       В общем случае символы Кристоффеля не являются тензорами
(только в частном случае).
       Из определения ковариантной производной (29) и (30), учитывая,
что e i = g ie e e , следует:
                        Ai ; k = g ie A;ek ; A;ik = g ie Ae ; k .

     Таким образом и Ai ; k и A;ik являются компонентами одного и того
же тензора, который и называется абсолютной (ковариантной)
производной вектора.

     2) Ковариантная производная тензора.
     а) Обобщим формулы ковариантной производной вектора на по-
нятие ковариантной производной тензора 2го ранга:
                                  ¶Т ik
                     Т ik; l =          -Т mk Gilm -Т im Gklm
                                  ¶x l
                                 ¶Т ik
                     Т ;ikl    =     l
                                       -Т mk Gmli -Т im Gmlk
                                  ¶x
                                 ¶Т ki
                     Т ki; l   =       +Т km Gmli -Т mi Gklm
                                  ¶x l
      Эти объекты преобразуются при изменении системы координат
как соответственного компоненты тензора 3-го ранга.
      Аналогично определяются ковариантные производные тензора
любого ранга.
      Ковариантная производная от тензора n-го ранга является тензо-
ром ранга (n +1).
      Ковариантная производная тензора нулевого ранга (скаляра) сов-
падает с чётной производной по координате:
                                                 ¶f
                                       f; i =        .
                                                ¶x i
     То есть является ковариантным вектором (типа grad).
     Правила дифференцирования суммы и произведения:
                    ( Aik + B ik ); l = Aik; l + B ik; l
                    ( Aik × B mn ) = Aik; l × B mn + Aik × B mn;l

44

Страницы