Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Вве дём обо зна че ния:
- =
-
+ -R
x x
qkl
i
ql
i
k
qk
i
l
pk
i
ql
p
pl
i
qk
p
G G
G G G G .
T
kl
p
kl
p
lk
p
= -G G
.
Окон ча тель но, по лу чим фор му лу:
( ) ,Ñ Ñ -Ñ Ñ = - +
k l l k
i
qkl
i
q
kl
p
i
p
T R T T
T
x
где:
T
kl
p
— на зы ва ют тен зо ром кру че ния;
R
qkl
i
— на зы ва ют тен зо ром Ри ма -
на или ри ма но вой кри виз ной.
Для евк ли до вой мет ри ки:
T
R
kl
p
qkl
i
º
=
ì
í
ï
î
ï
0
0
.
.
Все гда:
- =R R
qlk
i
qkl
i
.
Для мет ри ки
g
ik
су ще ст ву ет тен зор
R g R
iqkl ip qkl
p
=
, при чём
R R
iqkl qikl
= -
.
Тен зор кри виз ны — это тен зор 4-го ран га.
След тен зо ра Ри ма на
R R R
ql qil
i
qil
i
= = Sp ( )
на зы ва ет ся тен зо ром Рич чи.
След тен зо ра Рич чи:
R g R g R R
lq
ql
lq
qil
i
ql
= = = Sp ( )
на зы ва ет ся ска ляр -
ной кри виз ной.
б) Трёх мер ный слу чай: тен зор Ри ма на оп ре де ля ет ся ше стью чис -
ла ми.
Здесь тен зор Рич чи
R R R
qil
i
ql lq
= =
— сим мет рич ный тен зор 2-го
ран га.
Ска ляр ная кри виз на
R g R g R
ql
ql
ql
qil
i
= =
— след тен зо ра Рич чи:
Sp( )R g R
ql
ql
ql
=
.
в) Че ты рёх мер ный слу чай: здесь тен зор Ри ма на не оп ре де ля ет ся
тен зо ром Рич чи. Урав не ния (Эйн штей на), оп ре де ляю щие мет ри ку про -
стран ст ва-вре ме ни, имеют вид:
46
        Введём обозначения:
                                      ¶Gqli         ¶Gqki
                       -R   i
                            qkl   =        k
                                               -          l
                                                                  i
                                                              + G pk Gqlp - G pli Gqkp .
                                      ¶x             ¶x
                                                p
                                         T     kl   = Gklp - G lkp .
        Окончательно, получим формулу:
                                                                                  ¶T i
                     (Ñ k Ñ l -Ñ l Ñ k )T i = -Rqkl
                                                i
                                                   T q +T klp                          ,
                                                                                  ¶x p
где: T klp — называют тензором кручения; Rqkl
                                          i
                                              — называют тензором Рима-
на или римановой кривизной.
      Для евклидовой метрики:
                                                    ìïT klp º 0.
                                                     í i
                                                     ïîRqkl = 0.

        Всегда:
                                                 i      i
                                               -Rqlk = Rqkl .
                                                                 p
        Для мет ри ки g ik су ще ст ву ет тен зор Riqkl = g ip Rqkl , при чём
Riqkl = -Rqikl .
        Тензор кривизны — это тензор 4-го ранга.
        След тензора Римана Rql = Rqili = Sp(Rqili )называется тензором Риччи.
        След тензора Риччи: R = g lq Rql = g lq Rqili = Sp(Rql )называется скаляр-
ной кривизной.

        б) Трёхмерный случай: тензор Римана определяется шестью чис-
лами.
        Здесь тензор Риччи Rqili = Rql = Rlq — симметричный тензор 2-го
ранга.
      Скалярная кривизна R = g ql Rql = g ql Rqili — след тензора Риччи:

                                         Sp(Rql ) = g ql Rql .

     в) Четырёхмерный случай: здесь тензор Римана не определяется
тензором Риччи. Уравнения (Эйнштейна), определяющие метрику про-
странства-времени, имеют вид:
46

Страницы