Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

б) Тео ре ма Рич чи: Ко ва ри ант ная про из вод ная мет ри че ско го тен -
зо ра рав на ну лю.
Дей ст ви тель но:
g
g
x
g g
g
x
ik l
ik
l
im kl
m
mk il
m
ik
l
i kl k il; , ,
=
- - =
- - =G G G G
=
-
-
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
g
x
g
x
g
x
g
x
g
ik
l
ik
l
il
k
kl
i
ik
1
2
1
2
x
g
x
g
x
l
kl
i
il
k
+
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
= 0
Ана ло гич но:
g
l
ik
;
.= 0
Дан ное об стоя тель ст во по зво ля ет об ра щать ся с ком по нен та ми
мет ри че ско го тен зо ра при диф фе рен ци ро ва нии, как с постоянными.
Например:
g A g A A
g T g T T
T
il k
l
il
l
k i k
il k
lm
il
lm
k i k
m
ik
; ; ;
; ; ;
( )
( )
= =
= =
; ; ;
( )
l
im kn
ik
im kn
l l
mn
g g T g g T= =
3) Тен зор кри виз ны
а) Опе ра цию ко ва ри ант но го диф фе рен ци ро ва ния обо зна ча ют
сим во лом
Ñ
, например:
Ñ T = T
k j
i
j k
i
;
Рас смот рим вы ра же ние:
Ñ Ñ = Ñ
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
+
æ
k l
i
k
i
l
ql
i
q
k
i
l
ql
i
q
T
T
x
T
x
T
x
T
G
G
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
+G G G G
pk
i
p
l
ql
p q
lk
p
i
p
qp
i
T
x
T
T
x
T
q
i
k l
q
k
pk
i
pk
i
p
l
lk
p
T
x x
T
x
T
x
T
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
+
+
-
2
G G G
i
p
q
ql
i
k
pk
i
ql
p q
lk
p
qp
i
x
T
x
T T
+
+ -
G
G G G G
Со ста вим вы ра же ние:
( ) (Ñ Ñ -Ñ Ñ =
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
k l l k
i
qk
i
k
qk
l
l
q
pk
i
ql
T
x x
T
G G
G G
p
pl
i
qk
p q
lk
p
kl
p
i
p
T
T
x
- - -
G G G G) ( ) .
45
      б) Теорема Риччи: Ковариантная производная метрического тен-
зора равна нулю.
      Действительно:
                       ¶g ik                                 ¶g ik
           g ik; l =       l
                               - g im Gklm - g mk Gilm =
                                                 - Gi , kl - Gk, il =
                       ¶x                 ¶x l
                       ¶g ik
                         1 æ ¶g   ¶g    ¶g ö 1 æ ¶g            ¶g     ¶g                      ö
                 =    l
                        - çç ikl - ilk - kli ÷÷ - çç ikl + kli - ilk                          ÷÷ = 0
                   ¶x    2 è ¶x   ¶x    ¶x ø è ¶x 2            ¶x     ¶x                       ø
        Аналогично: g;ikl = 0.
     Данное обстоятельство позволяет обращаться с компонентами
метрического тензора при дифференцировании, как с постоянными.
Например:
                                   g il A;lk = ( g il A l ); k = Ai ; k
                                   g ilT; klm = ( g ilT lm ); k = T i ;mk
                                  T ik; l g im g kn = (T ik g im g kn ); l = T; lmn

     3) Тензор кривизны
     а) Операцию ковариантного дифференцирования обозначают
символом Ñ, например:
                                                  Ñ k T ij = T ij; k

        Рассмотрим выражение:
                     æ ¶T i                ö
   Ñ k Ñ lT i = Ñ k çç      l
                                + GqliT q ÷÷ =
                     è ¶x                  ø
                 i                              p
       ¶ æ ¶T                 q ö     i æ ¶T                    ö        æ ¶T i               ö
   = k çç       l
                   + G  i
                       ql T     ÷
                                ÷ + G pk
                                         ç
                                         ç     l
                                                  + GqlpT q     ÷ - Glkp ç
                                                                ÷
                                                                                     i
                                                                         ç ¶x p + GqpT
                                                                                          q
                                                                                              ÷=
                                                                                              ÷
     ¶x è ¶x                    ø        è ¶x                   ø        è                    ø
        ¶ 2T i    ¶T q i      i ¶T
                                     p
                                                           ¶T i       ¶Gqli
   =       k   l
                 + k G pk + G pk    l
                                                    - Glkp    p
                                                                + T q
                                                                           k
                                                                                 i
                                                                             + G pk GqlpT q   - Glkp GqpiT
       ¶x ¶x      ¶x             ¶x                        ¶x         ¶x
        Составим выражение:
                          æ ¶Gqki ¶Gqkl              ö q                                             i
 (Ñ k Ñ l -Ñ l Ñ k )T i = ç k - l                    ÷T + (G i G p - G i G p )T q - (G p - G p ) ¶T .
                                                             pk ql     pl qk          lk    kl
                          ç ¶x    ¶x                 ÷                                           ¶x p
                          è                          ø
                                                                                                             45

Страницы