Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

º
r
r
A
x
e A
k
i i k;
(29)
Это ко ва ри ант ная аб со лют ная про из вод ная ко ва ри ант но го
вектора.
Со во куп ность контр ва ри ант ных ком по нент век то ров
A
x
k
обо -
зна чим:
º
A
x
e A
k
i
k
i
;
(30)
Это ко ва ри ант ная (аб со лют ная) про из вод ная контр ва ри ант но го
вектора.
A
i k;
и
A
k
i
;
яв ля ют ся ком по нен та ми тен зо ра 2 ранга.
в) Най дём яв ное вы ра же ние ко ва ри ант ных про из вод ных:
ко век то ра —
A
A
x
e
A
x
A
e
x
e
i k
k
i
i
k
j
j
k
i;
=
=
+
×
r
r
контр век то ра —
A
A
x
e
A
x
A
e
x
e
i k
k
i
i
k
j
j
k
i
;
=
=
+
×
r
r
(31)
Учи ты вая, что ком по нен ты
e e g
i
j
i
j
× =
рав ны ли бо ну лю, ли бо
еди ни це, по лу чим:
× =
x
e e
k
i
j
( ) 0
. По это му:
e
e
x
e
e
x
i
j
k
j
i
k
= -
Вве дём обо зна че ние:
G
jk
i i
j
k
e
e
x
º
(32)
Эти 27 ве ли чин в 3-мер ном про стран ст ве на зы ва ют ся сим во ла ми
Кри стоф фе ля 2 рода.
То гда (31) при мут вид:
(ко век тор)
A
A
x
A
i k
i
k
j ik
j
;
=
- G
(контр век тор)
A
A
x
A
k
i
i
k
j
ik
j
;
=
+ G
(33)
То есть аб со лют ная про из вод ная учи ты ва ет не толь ко бы ст ро ту
из ме не ния са мо го век то ра, но так же и бы ст ро ту из ме не ния ло каль но го
42
         r
      ¶A r
             e i º Ai ; k                                       (29)
     ¶x k
     Это ковари ант ная абсолютная произ водная ковари ант ного
вектора.
                                                            ¶A
     Совокупность контрвариантных компонент векторов            обо-
                                                           ¶x k
значим:
      ¶A i
           k
             e º A;ik                                           (30)
     ¶x
     Это ковариантная (абсолютная) производная контрвариантного
вектора.
      Ai ; k и A;ik являются компонентами тензора 2 ранга.

     в) Найдём явное выражение ковариантных производных:
                           r
                          ¶A r   ¶A       ¶e j
     ковектора — Ai ; k = k e i = ki + A j k × e i
                         ¶x      ¶x       ¶x
                               r
                             ¶A r ¶A   i
                                               ¶e j
     контрвектора — Ai ; k = k e i = k + A j k × e i              (31)
                             ¶x     ¶x         ¶x
     Учитывая, что компоненты e i × e j = g i j равны либо нулю, либо
                      ¶                           ¶e j      ¶e
единице, получим: k (e i × e j ) = 0. Поэтому: e i k = - e j ik
                     ¶x                           ¶x        ¶x
     Введём обозначение:
                ¶e j
     G ijk º e i k                                                (32)
                ¶x
     Эти 27 величин в 3-мерном пространстве называются символами
Кристоффеля 2 рода.
     Тогда (31) примут вид:
                        ¶A
     (ковектор) Ai ; k = ki - A j Gikj
                        ¶x
                            ¶A i
     (контрвектор) A;ik =        k
                                     + A j Gikj                   (33)
                            ¶x
     То есть абсолютная производная учитывает не только быстроту
изменения самого вектора, но также и быстроту изменения локального
42

Страницы