Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2) Пре об ра зо ва ние тен зо ров
Пре об ра зо ва ние ко ва ри ант но го тен зо ра 2-го ран га мож но за пи -
сать в виде:
T t
lm l
i
m
k
ik
ik
=
å
a a
.
Сла гае мое
a
l
i
i
ik lk
t A
å
=
, так как это есть про из ве де ние мат риц
$
$
$
A t= a
. Та ким об ра зом
T A
lm lk
k
m
k
=
å
a
— это то же про из ве де ние мат риц
$ ~
T A= a
, Окон ча тель но:
$ $ ~
$
$
$
~
$
T A t= =a a a
.
Для два ж ды контр ва ри ант но го тен зо ра имеем:
T t
lm
i
l
ik
k
m ik
=
å
b b
.
Здесь:
$
~
$
$
T t= b b
, где
b a=
-1
.
На ко нец, для сме шан но го тен зо ра
T t
m
l
m
k
ik
i
l
k
i
=
å
a b
.
В мат рич ной фор ме:
$
$
$
$
T t= a b
.
Тен зор 3-го ран га име ет
n
3
ком по нент (n=3; 3
3
=27) ко то рые мо гут
рас по ла гать ся в ви де ку би че ской таб ли цы. Су ще ст ву ет 4 ти па тен зо ров
3-го ран га:
( ),( ),( ),( )t t t t
ijk
k
ij
jk
i
ijk
.
В об щем ви де тен зор
t
i i i
k k k
q
m
1
2
1
2
...
...
— это m-ко ва ри ант ный и q-контр ва -
ри ант ный тен зор; m+q=p — ранг тен зо ра, имею ще го n
p
ком по нент —
т.е. тен зор ран га p в n-мер ном пространстве.
Пре об ра зо ва ние тен зо ра про ис хо дит по формуле:
T t
j j j
l l l
j
i
i k
j
i
k
l
k
l
i
r
m
q
q
m
m
1
2
1
2
1
1
1
1
...
...
...
=
å
a a b bK K
1
2
1
2
i i
k k k
q
m
...
...
.
Ес ли объ ект t не под чи ня ет ся дан но му пре об ра зо ва нию, то это не
тен зор. Здесь
i i k k
q m
1 1
... , ...
— не мые ин дек сы, по это му мож но знак
суммы не писать.
Тен зор ным по лем ти па (p,q) ран га (p+q) на зы ва ет ся объ ект, за да -
вае мый на бо ром чи сел
T
j j
i i
q
p
1
1
...
...
в про из воль ной сис те ме ко ор ди нат
(x
1
...x
n
), чи сло вая за пись ко то ро го за ви сит от сис те мы ко ор ди нат по сле -
дую ще му за ко ну:
36
       2) Преобразование тензоров
       Преобразование ковариантного тензора 2-го ранга можно запи-
сать в виде:
                                         T lm = åa il a km t ik .
                                                      ik

                            i
      Слагаемое    åai
                             t
                            l ik   = Alk , так как это есть произведение матриц

A$ = a$ t$. Таким образом T lm = å Alk a km — это тоже произведение матриц
                                                 k

T$ = Aa,                      ~$ = a$ t$a.
      ~ Окончательно: T$ = A$ a         ~$
      Для дважды контрвариантного тензора имеем:
                                         T lm = åb li b mk t ik .
                                                       ik

                  ~$ $
      Здесь: T$ = b tb, где b = a -1 .
      Наконец, для смешанного тензора
                                           T ml = åa km b li t ki .
                                                      ik


      В матричной форме: T$ = a$ t$b.               $
      Тензор 3-го ранга имеет n 3 компонент (n=3; 33=27) которые могут
располагаться в виде кубической таблицы. Существует 4 типа тензоров
3-го ранга: (t ijk ), (t kij ), (t ijk ), (t ijk ).
      В общем виде тензор t ik11ik22......i kq m — это m-ковариантный и q-контрва-
риантный тензор; m+q=p — ранг тензора, имеющего np компонент —
т.е. тензор ранга p в n-мерном пространстве.
       Преобразование тензора происходит по формуле:
                                                            i
                   T jl11 lj22......lmj r = åa ij11 Ka jqq b lk11 Kb lkmm t ik11ik22......i kq m .
                                       i ... k


     Если объект t не подчиняется данному преобразованию, то это не
тензор. Здесь i1 ...i q , k1 ...km — немые индексы, поэтому можно знак
суммы не писать.
     Тензорным полем типа (p,q) ранга (p+q) называется объект, зада-
                                   i ... i
ваемый набором чисел T j 11... j qp в произвольной системе координат
(x1...xn), числовая запись которого зависит от системы координат по сле-
дующему закону:
36

Страницы