Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

на зы ва ют ся вре ме не по доб ны ми. Век то ра, ле жа щие вне ко ну са
| |
x
2
2
0<
— на зы ва ют ся про стран ст вен но по доб ны ми. Век тор
x
0
ле жа -
щий на ко ну се и имею щий ну ле вую дли ну, на зы ва ет ся све то вым. Ес ли
точ ка дви жет ся в трех мер ном про стран ст ве с по сто ян ной скоростью
v v v v= ( , , )
1 2 3
, то есть
x ct x v t x v t x v t
0 1 1 2 2 3 3
= = = =, , , ,
то мы име ем:
dl c v dt
v
c
dx l x
v
c
= - = - = -
2 2
2
2
0 0
2
2
1 1;
. Это и есть пре -
об ра зо ва ния Ло рен ца.
б) Про стран ст во Ло ба чев ско го
Рас смот рим про стран ст во:
R x x x
1 2
3 0 1 2
,
:( ; ; )
. Пе рей дем в ко ор ди на ты:
( , , )r jx
.
x x x
0 1 2
= = =r j r j r j jch ch ch; ; sin ;
( ) ( ) ( ) , ( );( ); ( ).x x x x
0 2 1 2 2 2 2
0 0 0 2- - = > -¥ < < ¥ < < ¥ £ £r r j p
Про стран ст во
R
1 2
3
,
— это внут рен ность ко ну са:
( ) ( ) ( )x x x
0 2 1 2 2 2
= +
[ ]
dl d dx sh dx
2 2 2 2 2 2
= - +r r j( ) ( )
(рис. 4).
33
Рис. 4. Про стран ст во Ло ба чев ско го
 на зы ва ют ся вре ме не по доб ны ми. Век то ра, ле жа щие вне ко ну са
       2
| x 2 | < 0 — называются пространственноподобными. Вектор x 0 лежа-
щий на конусе и имеющий нулевую длину, называется световым. Если
точка движется в трехмерном пространстве с постоянной скоростью
v = ( v 1 , v 2 , v 3 ), то есть
                        x 0 = ct , x 1 = v 1 t , x 2 = v 2 t , x 3 = v 3 t ,

                                                v2 0                v2
то мы имеем: dl = c 2 - v 2 dt = 1 -               dx ; l = x 0
                                                                1 -    . Это и есть пре-
                                                c2                  c2
образования Лоренца.

      б) Пространство Лобачевского
      Рассмотрим пространство:
      R13, 2 :( x 0 ; x 1 ; x 2 ). Перейдем в координаты: (r, x , j).

                       x 0 = rchj; x 1 = rchj; x 2 = rchj sin j;
    ( x 0 ) 2 - ( x 1 ) 2 - ( x 2 ) 2 = r 2 > 0, (-¥ < r < ¥); (0 < x < ¥); (0 £ j £ 2 p).
      Пространство R13, 2 — это внутренность конуса:

                                  (x 0 )2 = (x 1 )2 + (x 2 )2

                                       [                         ]
                    dl 2 = dr 2 - r 2 (dx ) 2 + sh 2 j(dx ) 2 (рис. 4).




                            Рис. 4. Пространство Лобачевского

                                                                                             33

Страницы