ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
щих ся пра ви лу пре об ра зо ва ния ко ор ди нат:
¢
=
¶
¶
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
¶
¶
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
g
z
y
g
z
y
ij
k
i
kl
l
j
,
z
— ис -
ход ные координаты,
y
— новые координаты.
Дли на кри вой в ри ма но вой мет ри ке:
l g z
dz
dt
dz
dt
dt
ij
i
j
a
b
=
ò
( )
. Ска -
ляр ное про из ве де ние в ри ма но вой мет ри ке:
( , )
r r
x y g x y
ij
i
j
= > 0
. Та ким
об ра зом, и дли на, и ска ляр ное про из ве де ние не за ви сят от вы бо ра сис -
те мы координат (инвариантны).
Мет ри ка на зы ва ет ся евк ли до вой, ес ли
g
i j
i j
ij ij
= =
=
¹
ì
í
î
d
1
0
,
,
.
а) в де кар то вых ко ор ди на тах
x x x y
1 2
= =; ;
g
ij
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
1 0
0 1
.
б) в по ляр ных ко ор ди на тах
( , ):r j
g
r
ij
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
1 0
0
2
;
l
dr
dt
r
d
dt
dt
a
b
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
ò
2
2
2
j
.
в) в ци лин д ри че ских ко ор ди на тах
( , , ):r zj
g r
ij
=
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
1 0 0
0 0
0 0 1
2
;
l
dr
dt
r
d
dt
dz
dt
dt
a
b
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
ò
2
2
2
2
j
.
г) в сфе ри че ских ко ор ди на тах
( , , ):r q j
g r
r
ij
=
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
1 0 0
0 0
0 0
2
2
sinq
;
l
dr
dt
r
d
dt
r
d
dt
dt
a
b
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
2
2
2 2
2
q
q
j
sin
ò
.
Рас смот рим квад рат диф фе рен циа ла дли ны :
dl g dz dz
ij
i
j
2
=
.
а) Де кар то вы ко ор ди на ты:
dl dx
i
i
2 2
1
3
=
=
å
( )
.
б) По ляр ные ко ор ди на ты:
dl dr r d
2 2 2 2
= +( ) ( )j
.
в) Ци лин д ри че ские ко ор ди на ты:
dl dr r d dz
2 2 2 2 2
= + +( ) ( ) ( )j
.
г) Сфе ри че ские ко ор ди на ты:
[ ]
dl dr r d d
2 2 2 2 2 2
= + +( ) ( ) sin ( )q q j
.
31
æ ¶z k ö æ ¶z l ö
щихся правилу преобразования координат: g ij¢ = çç i ÷ g kl ç j
÷ ç ¶y
÷, z— ис-
÷
è ¶y ø è ø
ходные координаты, y — новые координаты.
b
dz i dz j
Длина кривой в римановой метрике: l = ò g ij ( z) dt . Ска-
a
dt dt
r r
лярное произведение в римановой метрике: ( x , y ) = g ij x i y j > 0. Таким
образом, и длина, и скалярное произведение не зависят от выбора сис-
темы координат (инвариантны).
ì1, i = j
Метрика называется евклидовой, если g ij = d ij = í .
î0, i ¹ j
æ1 0ö
а) в декартовых координатах x 1 = x ; x 2 = y ; g ij = çç ÷÷.
è0 1ø
б) в полярных координатах (r , j):
b 2 2
æ1 0 ö æ dr ö 2 æ dj ö
g ij = çç ÷
2 ÷
; l = ò ç ÷ + r ç ÷ dt .
è 0 r ø a è
dt ø è dt ø
в) в цилиндрических координатах (r , j, z):
æ1 0 0ö b 2 2 2
ç ÷ æ dr ö 2 æ dj ö æ dz ö
g ij = ç 0 r 2 0 ÷; l = ò ç ÷ + r ç ÷ + ç ÷ dt .
ç0 0 a è
dt ø è dt ø è dt ø
è 1 ÷ø
г) в сферических координатах (r ,q, j):
æ1 0 0 ö b 2 2 2
ç ÷ æ dr ö æ dq ö æ dj ö
g ij = ç 0 r 2 0 ÷; l = ò ç ÷ + r 2 ç ÷ + r 2 sin 2 qç ÷ dt .
ç0 0 a è
dt ø è dt ø è dt ø
è r 2 sinq ÷ø
Рассмотрим квадрат дифференциала длины : dl 2 = g ij dz i dz j .
3
а) Декартовы координаты: dl 2 = å(dx i ) 2 .
i =1
б) Полярные координаты: dl 2 = (dr ) 2 + r 2 (dj) 2 .
в) Цилиндрические координаты: dl 2 = (dr ) 2 + r 2 (dj) 2 + (dz) 2 .
[
г) Сферические координаты: dl 2 = (dr ) 2 + r 2 (dq) 2 + sin 2 q(dj) 2 . ]
31
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
